这个问题，大家的 GPT 都能答对吗？

[Persimmon08]

当 x 趋近于 0 和正无穷时， 求 y= x ln(1+1/x) 的极限

正确答案：
当 x → 0 时，y 趋近于 0 ；
当 x → +∞ 是，y 趋近于 1 。

想要知道 GPT4 ，Claude Pro 和 Gemini Pro 在这类公式推导上的表现，请充值过的 v 友帮忙测试一下，谢谢！

顺便帮大家自查一下高等数学（函数极限与洛必达法则）还记得多少，哈哈！

[SWALLOWW]

gpt4:
.......
.......
综上所述，当
𝑥
x 趋近于正无穷时，极限值为 1 ；而当
𝑥
x 趋近于 0 时，极限值为 0 。

[kenneth104]

GLM4

当 x 趋近于 0 时，函数的极限为 0
当 x 趋近于正无穷时，该函数的极限为 1

[zzzsy]

llama3-70b-instruct-zh:
当 x → 0 时，y → 1 ；
当 x → +∞ 时，y → 0 。不太聪明🧐

[Voyty]

为了找到函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时的极限，我们可以分别考虑这两种情况。

### 当 \( x \) 趋近于正无穷时

首先，令 \( u = \frac{1}{x} \)，那么当 \( x \to \infty \) 时，\( u \to 0 \)。此时，函数可以重写为：
\[ y = \frac{\ln(1 + u)}{u} \]
其中 \( u = \frac{1}{x} \)。

当 \( u \to 0 \) 时，我们可以使用泰勒展开（ Taylor expansion ）对 \(\ln(1+u)\) 进行近似：
\[ \ln(1 + u) \approx u \]
因此，
\[ \frac{\ln(1 + u)}{u} \approx \frac{u}{u} = 1 \]

所以当 \( x \to \infty \) 时，\( y \) 趋近于 1 。

### 当 \( x \) 趋近于 0 时

这部分需要小心处理。当 \( x \to 0^+ \)（从正数一侧接近 0 ）时，\( u = \frac{1}{x} \to \infty \)。此时，我们同样考虑 \( \ln(1 + u) \)：

当 \( u \to \infty \) 时，\(\ln(1+u)\) 的增长速度慢于 \( u \) 本身。因此，
\[ \ln(1 + u) \approx \ln(u) \]
所以，
\[ y = \frac{\ln(1 + u)}{u} \approx \frac{\ln(u)}{u} \]

我们知道对于很大的 \( u \)，\( \ln(u) \) 相对于 \( u \) 增长得慢得多。实际上，由于
\[ \lim_{u \to \infty} \frac{\ln(u)}{u} = 0 \]
（这可以通过洛必达法则或者直观理解 \(\ln(u)\) 的增长速度不及 \( u \) 的增长速度来证明。）

因此，当 \( x \to 0^+ \) 时，\( y \to 0 \)。

### 总结
- 当 \( x \to \infty \) 时，\( y \to 1 \)。
- 当 \( x \to 0^+ \) 时，\( y \to 0 \)。

[goodryb]

qwen 说两种情况结果都是 0 ，看起来也不太聪明的样子

https://tongyi.aliyun.com/qianwen/share?shareId=43a19b2b-c2ea-404d-a21d-78eaa24dc723

[hooych]

0/0 型、∞/∞型 都先洛一下再说。

llama3 答都是 0 ，不太聪明

[hooych]

出乎意料的是，Phi-3 mini 知道用 L'Hôpital's Rule ，但是当 x 趋近于 正无穷时答错了，回答了 1/2

[codebs]

总结：
当 趋近于正无穷时，极限为 1 。
当 趋近于 时，极限为 0 。
当 趋近于 时，函数未定义。

[ayase252]

gemini pro

Here's how to find the limits of x*ln(1+1/x) as x approaches 0 and positive infinity:

Case 1: x approaches 0

We cannot directly substitute x = 0 into the expression, as it results in an indeterminate form. Let's use L'Hôpital's rule:

Rewrite the expression:
x*ln(1+1/x) = ln(1+1/x) / (1/x)
Now the form is suitable for L'Hôpital's rule (both numerator and denominator approach 0 as x approaches 0).

Apply L'Hôpital's Rule:
lim (x->0) [ln(1+1/x) / (1/x)] = lim (x->0) [d/dx(ln(1+1/x)) / d/dx(1/x)]
= lim (x->0) [-1/(x+x^2) / (-1/x^2)]
= lim (x->0) [x / (1+x)] = 0

Therefore, the limit of x*ln(1+1/x) as x approaches 0 is 0.

Case 2: x approaches positive infinity

Rewrite the expression:
x*ln(1+1/x) = ln(1 + 1/x) / (1/x)

Again, this is an indeterminate form (both numerator and denominator approach 0 as x approaches infinity).

Apply L'Hôpital's Rule:
lim (x-> ∞) [ln(1 + 1/x) / (1/x)] = lim (x-> ∞) [d/dx(ln(1 + 1/x)) / d/dx(1/x)]
= lim (x-> ∞) [-1/(x+x^2) / (-1/x^2)]
= lim (x-> ∞) [x / (x+1)]

= 1 (dividing both numerator and denominator by x)

Therefore, the limit of x*ln(1+1/x) as x approaches positive infinity is 1.

[hhjuteman]

Here is how we can find the limit of y = x ln(1 + 1/x) as x approaches 0 and positive infinity:

Limit as x → 0⁺
As x approaches 0 from the right side, 1/x approaches positive infinity. So we can rewrite the limit:
lim x→0⁺ x ln(1 + 1/x) = lim x→0⁺ x ln(1/x)

Now, using the properties of logarithms, ln(1/x) = -ln(x). So:
= lim x→0⁺ -x ln(x)

This is an indeterminate form of type 0 ⋅ ∞. We can use L'Hôpital's rule to evaluate it:
= lim x→0⁺ -ln(x) - 1 = -∞

Therefore, lim x→0⁺ x ln(1 + 1/x) = -∞

Limit as x → +∞
As x approaches positive infinity, 1/x approaches 0. Using the fact that ln(1+u) ≈ u for small u:
lim x→+∞ x ln(1 + 1/x) ≈ lim x→+∞ x ⋅ 1/x = lim x→+∞ 1 = 1

Therefore, lim x→+∞ x ln(1 + 1/x) = 1

In summary:

As x → 0⁺, y = x ln(1 + 1/x) → -∞
As x → +∞, y = x ln(1 + 1/x) → 1


claude3 opus 很准。

[hhjuteman]

@hhjuteman 看了眼答案好像不准，不过我数学水平已经完全退化了，也不知道哪里有问题

[mumbler]

初中以上的数学目前还没法

[gxt92]

claude-3-opus-20240229
当 x 趋近于 0 时，y 的极限为 0 ；当 x 趋近于正无穷时，y 的极限为 1 。
claude-3-haiku-20240307
当 x 趋近于 0 和正无穷时,函数 y = x ln(1+1/x) 的极限都是 1
claude-3-sonnet-20240229
当 x 趋近于 0 和正无穷时,极限 y = x ln(1+1/x) 的值均为 1 。
貌似只有 opus 是对的

[mooooooooooe]

用的 gpt plus 的 math gpts 回答的挺准确的甚至给出了 python 代码，v 站不支持 LaTeX 格式😅

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
expr = x * sp.log(1 + 1/x)

# 当 x 趋近于 0+ 时
limit_zero = sp.limit(expr, x, 0, dir='+')

# 当 x 趋近于 正无穷时
limit_infinity = sp.limit(expr, x, sp.oo)

limit_zero, limit_infinity

[lxyv]

kimi

为了求解函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时的极限，我们可以分别考虑这两个情况。

### 当 \( x \) 趋近于 0 时

当 \( x \) 趋近于 0 时，我们有：

\[ y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \]

由于 \( \ln(1) = 0 \)，我们可以将 \( 1 + \frac{1}{x} \) 展开为 \( 1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} \)，然后应用对数的性质：

\[ y = x \ln\left(x + \frac{1}{x}\right) \]

当 \( x \) 趋近于 0 时，\( \frac{1}{x} \) 趋近于正无穷，因此 \( x + \frac{1}{x} \) 趋近于 \( \frac{1}{x} \)，所以：

\[ y \to 0 \ln\left(\frac{1}{x}\right) \]

由于对数函数 \( \ln \) 在 \( x \) 趋近于 0 时是无穷小量的高阶，所以：

\[ \lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} 0 \cdot \ln\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \cdot (-\infty) = 0 \]

### 当 \( x \) 趋近于正无穷时

当 \( x \) 趋近于正无穷时，我们有：

\[ y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \]

由于 \( \frac{1}{x} \) 趋近于 0 ，我们可以利用对数的泰勒展开：

\[ \ln(1 + \epsilon) = \epsilon - \frac{\epsilon^2}{2} + o(\epsilon^2) \]

其中 \( \epsilon = \frac{1}{x} \)，当 \( x \) 趋近于正无穷时，\( \epsilon \) 趋近于 0 。因此：

\[ y = x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right) \right) \]

\[ y = 1 - \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right) \]

由于 \( o\left(\frac{1}{x}\right) \) 表示比 \( \frac{1}{x} \) 更高阶的无穷小量，当 \( x \) 趋近于正无穷时，这一项将趋近于 0 。因此：

\[ \lim_{x \to \infty} y = 1 - 0 = 1 \]

综上所述，函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 的极限在 \( x \) 趋近于 0 时为 0 ，在 \( x \) 趋近于正无穷时为 1 。

[justsomac]

免费 claude：
```
当 x 趋近于 0 时:
利用洛必达法则,对 y=x ln(1+1/x)求极限。
lim(x→0) [x ln(1+1/x)] = lim(x→0) [ln(1+1/x)] / [1/x]
= lim(x→0) [(1+1/x)^(-1)] (利用对数导数公式)
= lim(x→0) [1/(1+1/x)]
= 1 (利用简单加减乘除求极限法则)
因此,当 x 趋近于 0 时,y=x ln(1+1/x)的极限为 0 。
当 x 趋近于正无穷时:
lim(x→+∞) [x ln(1+1/x)] = lim(x→+∞) ln(1+1/x) / [1/x] (利用洛必达法则)
= lim(x→+∞) [(1+1/x)^(-1)] (利用对数导数公式)
= lim(x→+∞) 1/(1+1/x)
= 1 (利用无穷小比较原理)
因此,当 x 趋近于正无穷时,y=x ln(1+1/x)的极限为 1 。
综上所述:
lim(x→0) [x ln(1+1/x)] = 0
lim(x→+∞) [x ln(1+1/x)] = 1
```

[lihaokey]

我的 GPT4 为啥说都是 1

[glaucus]

@lxyv 为什么我问 kimi 的回答是无论 x 趋近于 0 还是正无穷，函数的极限都是 1 。

[lihaokey]

微软 copilot 的回答：正在执行任务:

求 y= x ln(1+1/x) 当 x 趋近于 0 和正无穷时的极限


当 ( x ) 趋近于 0 时，( y = x \ln(1+\frac{1}{x}) ) 的极限是 0 。

当 ( x ) 趋近于正无穷时，( y = x \ln(1+\frac{1}{x}) ) 的极限是 1 。

如果您有其他数学问题或需要进一步的帮助，请告诉我！

[Track13]

gemini-pro

**当 x 趋近于 0 时：**

使用洛必达法则：

```
lim (x->0) x ln(1+1/x) = lim (x->0) (ln(1+1/x)) / (1/x) = lim (x->0) 1/(1+1/x) * (-1/x^2) = 0
```

**当 x 趋近于正无穷时：**

使用等价无穷小：

```
ln(1+1/x) ~ 1/x
```

因此：

```
lim (x->∞) x ln(1+1/x) = lim (x->∞) x * (1/x) = lim (x->∞) 1 = 1
```

因此，极限为：

```
lim (x->0) x ln(1+1/x) = 0
lim (x->∞) x ln(1+1/x) = 1
```