一道立体几何题目

[enjoying]

自己工作时突然想到的，和工作实质内容无关。衍生出来的一个立体几何问题，自己十一节假日断断续续想了些时间了，还没解答出来。让有兴趣的网友帮忙一起来想想。

[wufeng]

不好意思 高中已经毕业 20 年 题目已经看不懂了

[Sawyerhou]

提个比较傻的思路。

以 G 为原点，HG 为 x 方向，CG 为 y 方向，FG 为 z 方向，建立坐标系
不妨设正方体边长为 1 ，并对 OL,OM,ON 除以三者平方和进行归一化

记平面法线方向为 n=(x,y,z)则
cos<n,CG>=cos<(x,y,z),(0,0,1)>=OL
cos<n,HG>=cos<(x,y,z),(1,0,0)>=ON
cos<n,FG>=cos<(x,y,z),(0,1,0)>=OM
解得 n=(ON,OM,OL)

对于问 2 ，记 PCG 法线为 m=(x,y,z)
cos<m,n>=cos<(x,y,z),(ON,OM,OL)>=0
cos<m,CG>=cos<(x,y,z),(0,0,1)>=0
解得 m=(OM,-ON,0)

<PCG,ACG>=arccos(cos<m,(1,1,0)>)=arccos(OM-ON)

其他问原理也都差不多

[Sawyerhou]

@Sawyerhou #2 更正倒数第二行
<PCG,ACG>=arccos(cos<m,(1,1,0)>)=arccos(OM-ON)

[enjoying]

第一问题证明就是用："如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么他们的交线垂直于第三个平面。"
本题中的三个平面为平面 X ，平面 CGOL ，平面 ABCD 。

[enjoying]

第 3 个问题改一下：求∠LCP