各位来看看：用高中数学知识：首位为 9 的数有几个？

[panchina]

前几天培训时提出的一个问题：
9, 9^1, 9^2, ... 9^2016

首位为 9 的数有几个？
思路是是什么？
方法如何实现？

ps:不能一个个排查
pps:说用高中数学知识就可以了 =_=!

[Dannytmp]

难点在于高中知识的范围啊

[shshilmh]

http://lmgtfy.com/?q=%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%9A%84%E9%A6%96%E4%BD%8D%E6%95%B0

[ffffwh]

9 * (10 - 1)^n, for n = 0 -> 2016 。看(10-1)^n 怎么给出首位为 1 的？

[Kirscheis]

这个用得着高中知识吗。。初中差不多了，考点对数换底公式啊。

10^([log(9^n)]+1) > 9^n > 9^[log(9^n)]
解不等式，得 log(9) < nlog(9)-[nlog(9)] < 1
也就是说 nlog(9) 的小数部分大于 log(9) 就可以了。列等差数列，做一个除法，问题结束。

[panchina]

@ffffwh 这不就是相当于一个个排查了么？

[lightening]

@Kirscheis 能不能解释一下为什么 10^([log(9^n)]+1) > 9^n > 9^[log(9^n)] 代表首位为 9 ？

[Kirscheis]

@lightening
p 位整数首位为 9 的充要条件是 10^p > x >= 10^(p-1)，这里因为 9 的幂次个位不可能为 0 ，故条件退化为 10^p > x > 10^(p-1)
又因为任意 p 位整数 n 可化为级数 ∑(a,i) aᵢ*(10^i)，故 n 的位数 p = [log(9^n)]+1
上面两个条件合起来就是了

[Kirscheis]

@lightening
手机打字变量名打错了。。漏了个条件
p 位整数 x 首位为 9 的充要条件是 10^p > x >= 10^(p-1)，这里因为 9 的幂次个位不可能为 0 ，故条件退化为 10^p > x > 10^(p-1)
又因为任意 p 位整数 x 可化为级数 ∑(a,i) aᵢ*(10^i)，故 n 的位数 p = [log(x)]+1 ，题设中的 x = 9^n ，故 p = [log(9^n)]+1
上面两个条件合起来就是了

[Kirscheis]

@lightening
报警，发出去发现还有一处没改。。请忽略上面两条
p 位整数 x 首位为 9 的充要条件是 10^p > x >= 10^(p-1)，这里因为 9 的幂次个位不可能为 0 ，故条件退化为 10^p > x > 10^(p-1)
又因为任意 p 位整数 x 可化为级数 ∑(a,i) aᵢ*(10^i)，故 x 的位数 p = [log(x)]+1 ，题设中的 x = 9^n ，故 p = [log(9^n)]+1
上面两个条件合起来就是了

[luban]

http://blog.udn.com/ivan5chess/1636470

这里有个很巧妙的解法，但是要知道最后一个，也就是 9 的 2016 次方首位是不是 9

[luban]

上面说错了，应该是要知道最大的一个 9 的 n 次方首位是 9 才行

[luban]

经过少量测试， 9^2011 的首位是 9 ， 9^2011 长度是 1919 ，也就是 2011-1919=92 个

[billion]

9^1---> 1 个 9 开头
9^2--->1 个 9 开头
9^3--->11 个 9 开头，分别为:9, 90,91,92,93,94,95,96,97,98,99 ->1+10
9^4 --->111 个 9 开头->1+10+100
……
9^2016 ---> 1 + 10 +100 + 1000 + …… + 10 …… 2015 = 11111111 …… 1111 （ 2015 个 1 ）个 9 开头

[yuuki]

算出来是 21 个，不知道对不对🐸
用到了科学计数法，对数和不等式的知识
9^n=a·10^(n-1)，满足首位为 9→9≤a<10 ，解不等式得 1≤n≤21

[qqmishi]

想了半天才发现是要求有几个，，，
首位是 9 意味着本次运算没有进位，所以看看位数与指数的差就行了，理论上只需要算 9^2016 的位数

实际上差不多每隔 22 或者 21 就会出现一个首位是 9 的

[loading]

完全不懂……

[zingl]

2016*(1-log9)

[lightening]

@Kirscheis
谢谢。这里 [ ] 是取整数的意思吗？

[jimages]

@Kirscheis 有误，应为， p 位整数 x 首位为 9 的充要条件是 10^p > x >= 10^p - 10^(p-1)

[jimages]

@jimages 于是 变形 10^p > x >= 9*10^(p-1) 这里在 x 为 9 的时候需要取等号，因此不能退化。