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hurst 指数：

本文将对 hurst 指数的历史及数学背景做尽可能详细而直白的介绍。

原文链接： http://raquant.com/qa/index.php?qa=192&qa_1=hurst

简介：

1.布朗运动（ Brownian motion ）：被分子撞击的悬浮微粒做无规则运动的现象叫做布朗运动。例如常见的解释是：显微镜下水中花粉微粒在水分子的撞击下观测到的运动轨迹。布朗运动是大量分子做无规则运动对悬浮的固体微粒各个方向撞击作用的不均衡性造成的，所以布朗运动是大量液体分子集体行为的结果，是一种随机涨落现象。由布朗发现，后经爱因斯坦、维纳等人发展成为分子运动论和统计力学的基础。

2.布朗运动数学描述：

{B(t)}布朗运动，满足下面性质：

  1.B(t)是独立增量过程：对于任意的 t>s, B(t)-B(s)独立于之前的过程 B(u):0<=u<=s.

  2. B(t)有正态的增量： B(t)-B(s)满足均值为 0 方差为 t-s 的正态分布。

  3.B(t)有连续的路径： B(t), t>=0 是关于 t 的连续函数。

3.爱因斯坦的发现

爱因斯坦于 1908 年发表了关于布朗运动的论文，使得布朗运动成为随机游走的基本模型。爱因斯坦发现，分子布朗运动的半径可以用涵盖时间的平方根来测度：

         R=T^(0.5)；                 其中 R 分子随机运动的半径， T 是时间（ Time ）     （ 1 ）

Hurst 指数就是在这基础上发现新的统计量来对时间序列的随机性进行检验。

4.Hurst 指数背景

由英国水文学家 H.E.HURST （赫斯特）提出，用于研究洪水形成周期：洪水过程是时间系列曲线，具有正的长时间相关效应。即干旱愈久，就可能出现持续的干旱；大洪水年过后仍然会有较大洪水。（有木有发现和股市很像？！）

而 Hurst 发现上述这种特性可以用他本人提出的 Hurst index 来衡量。

5.Hurst 指数数学依据

从上述爱因斯坦的结论（ 1 ）式中，我们知道标准布朗运动的半径 R=T^(0.5)，那么对于一般的时间序列呢？！受爱因斯坦的结果影响，我们相信分子运动半径 R 与时间 T 依旧存在类似的关系： R~T^(H)，其中 H 就是所谓的 Hurst 指数，这里不再用等号是认为此时半径应该正比于 T^(H)。

经研究得出 Hurst 指数的三种形式：

1 ．如果 H=0.5 ：标准布朗运动，表明时间序列可以用随机游走来描述，表现出马尔科夫性；

2 ．如果 0.5<H<1 ，表明时间序列存在长期记忆性，表明一定时间范围内走势记录会持续相当长的时间，从而形成一个大的循环；

3 ．如果 0≤H<0.5 ，表明粉红噪声(反持续性)即均值回复过程，该序列理论上无数次返回它的历史出发点（说的就是此时股票价格就是处在震荡时刻）。

也就是说，只要 H≠0.5 ，就可以用有偏的布朗运动(分形布朗运动)来描述该时间序列数据。 问题来了，那怎么计算 Hurst 指数呢？

后续详细内容请查看:http://raquant.com/qa/index.php?qa=192&qa_1=hurst

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