一个数学问题求解

[ysmood]

假设生男孩女孩的概率相同，每对夫妇会不断生孩子直到生出第一个女孩子，那么在有足够多的夫妇的情况下，最后男孩女孩比例是多少？

求简洁易懂的数学证明。

写了段代码，感觉是 1 ，但是没有想到简单的数学证明。

var count = 10000;
var boy = 0;
var girl = 0;

while (count--) {
    while (Math.random() < 0.5) boy++;
    girl++;
}

console.log(boy / girl); // 约等于 1

[programgou]

想了一下，用最基本的概率知识就可以解决这个问题。

我们不妨先求(~） [所有的夫妇平均生的孩子的个数] 吧，为了求出（~），我们先考虑样本空间，并且给每个样本点赋予概率值。我们用 0 表示女孩子， 1 表示男孩子，首先列出样本点：
0
10
110
1110
...
每一行代表一对夫妇生的孩子的总数，我们分布用 w1,w2,w3,...,wn 表示。现在考虑 w 的概率，由于 0 和 1 是等概的，所以 P(w1) =1/2 。又因为样本空间总概率为 1,所以剩下的{w2,w3,...,wn}概率为 1-1/2=1/2 。我们再考虑 w2,w2 的概率 P(w3)显然是 1/2-1/2*1/2=1/4 (由于 0 和 1 是等概的)……依此类推， w3,w4,...,wn 的概率 P(w3),P(w4),...,P(wn)分别是 1/8,1/16,...,1/2^n 。接下来我们求(~),(~)实际上就是数学期望，因此，

(~)=Σn*P(wn) = Σn*1/2^n = 2

因此最后所有夫妇平均剩下两个孩子。又由于男孩女孩是等概的，所以，男女比例还是 1:1 。白忙活一场...
证明完毕。

[programgou]

@Yvette 你这个思路很好很好，第一种情况， [每对夫妇会不断生孩子直到生出第一个女孩子] ，第二种情况， [每对夫妇会不断生孩子直到生出第一个男孩子] ，第一种情况+第二种情况=所有情况。因此最后男孩多还是女孩多，取决于每种情况的最后一个孩子，即男女概率，然而男女等概的，所以结论是 1:1 。