logX < X 对所有 X > 0 成立？

[jinhan13789991]

(注意：计算机科学中，若无特别说明，所有对数都是以 2 为底的) 在《数据结构与算法分析》这本书里看到的，但是我无论如何都无法证明，网上的证明也看过了 http://www.cnblogs.com/xpjiang/p/4133975.html ，抱歉这个归纳法我没看懂 但是在对数函数图像上， logX<x x="">0 在 X = 1/2 时明显不成立。希望V2EX上的大牛能指点下。

[est]

肉眼证明。

[ooxxcc]

我觉得原文漏了一条 x 为整数，否则用什么数学归纳法……

[virusdefender]

x = 1/2 的时候 log2 x = -1 啊

[jinhan13789991]

@ooxxcc 我也感觉是书的翻译问题
@est
@virusdefender
看错了，我看成以 x 为底的对数了（捂脸）。差点以为自己在数学上有了重大发现，但是那个归纳法还是看不太明白

[wowpanda]

求导数，看单调性，你就知道了

[aristotll]

用导数容易证明
logx<x-1(x>1)

估计是算法里默认为正整数的缘故吧....

[cfans1993]

不知道证明的对不对, 一些限制条件自己加一下
https://ooo.0o0.ooo/2016/07/22/5791e360020de.jpg

[wzxjohn]

看到标题吓得我以为我对数白学了。。。

[rrfeng]

这个不是高中数学的内容吗？

敢问楼主哪里的……

[SuperFashi]

wait ，第一句话，“计算机科学中，对数都是以 2 为底的”，据我所知， log 默认都是以 e 为底的啊……

[blacktulip]

@SuperFashi e 底一般写成 ln

[SuperFashi]

@blacktulip 这是数学表达，数学表达中 log 是 2 底， ln 是 e 底， lg 是 10 底

[yhylord]

@SuperFashi 一般内置的数学函数是以 e 为底，但是在 CS 教材里面写 log 都是以 2 为底的。

[ga6840]

可以看看这些相关的帖子：
https://approach0.xyz/search/?q=%24%5Clog%20x%5C%20%3C%5C%20x%24&p=1

[A1B2C3D4]

令 x ＝ 2ⁿ（ n∈R ），
即证明 n<2ⁿ在 n∈R 时恒成立，
令 m （ n ）＝ 2ⁿ－ n （ n∈R)，
因为(2ⁿ－ n)'＝ 2ⁿln2 － 1，
而 p （ m ）＝ 2ⁿln2 － 1 在 n∈R 上↗，
且 n ＝ log （ loge ）时，2ⁿ－ n ＝ 0，
所以 m(n)在(-∞，log(loge)］↘，在［ log(loge)，+∞）↗，有最小值 m[log （ loge ）]，
所以只需证明最小值＞ 0 即可，因为
2^[log （ loge ）]-log(loge)＝ loge-log(loge)

[A1B2C3D4]

@A1B2C3D4 ＝ log （ e/loge ）＝ log （ log2^e/loge ）
而 2^e/e ＞ 2²/e ＝ 4/e ＞ 1
推出 log （ 4/e ）＞ 0
所以 log （ 2^e/e ）＞ log （ 4/e ）＞ 0
所以假设成立