将 1 米长的木棒“随机分成 3 段”

[qinjiannet]

将 1 米长的木棒“随机分成 3 段”

假设得到的三段木棒的长度分别为 a, b, c

有下面两种分配方法：

方法 1 在[0, 1]范围内取变量 X ， Y ；

X 与 Y 相互独立，服从均匀分布。

a, b, c 分别为 shuffle( min(X, Y), abs(X - Y), 1 - max(X, Y) )

方法 2 在[0, 1]范围内取变量 X ， Y ， Z ；

X 、 Y 、 Z 相互独立，服从均匀分布。 S = sum(X, Y, Z)；若 S 为 0 ，则重新选取 X, Y, Z

a, b, c 分别为 X / S, Y / S, Z / S

问题一 分别求两种方法得到的三段木棒长度的期望，各自服从什么分布？

问题二 分别求两种方法得到的三段木棒中，存在长度＞ 0.5 米木棒的概率

问题受到这个贴子的启发： https://www.v2ex.com/t/320507

[sixg0d]

方法 1 的问题一就是求次序统计量的分布。
问题二的反面就是能组成三角形的概率，这个在初中竞赛有学。
方法 1 的话(x,y)是[0,1]*[0,1]的均匀分布，能构成三角形的区域为两个三角形，面积为 1/4 ，所以概率 1/4.
突然发现那时老师讲的方法是错的：第一段长度 a, 第二段长度 b ，(a,b)可能空间为(1,0), (0,0), (0,1)三点之间的三角形，符合要求区域为(0.5,0), (0.5,0.5), (0,0.5)之间的三角形，面积占 1/4.
虽然答案对，但(a,b)在这上面完全不是均匀分布啊，概率就不是面积比了啊。
当时我就想着，如果先均匀取一点，再在右侧均匀取一点（就是你之前帖子提到的），组成三角形概率多少。我当时用均匀分割有限趋近无限的方法求极限算出个包含 log 的答案（现在想想就是微积分），后来数学小论文还写了这个，然而市里好几个老师认为我算的是错的，答案应该和上一题一样。当时不知道怎么跟他们讲清楚，现在想到如你所说期望都不一样。。。

[qinjiannet]

@sixg0d 问题一的期望貌似是一样的 都是 1/3 1/3 1/3

[sixg0d]

@qinjiannet 楼楼上应该靠谱， since 他学过测度

[xrlin]

(ｰ ｰ;)我得回去翻教材了，几乎全忘了

[franklinyu]

其實，沒有一個是「真正平均的分佈」，關鍵其實只要滿足兩點：

1. 三段的分佈情況相同；
2. 有一定分佈（也就是說不要固定是 1/3 ）。

就足夠了。第一點應該能夠保證數學期望是 1/3 。我之前給出的兩個分佈都滿足以上兩點。

[franklinyu]

哦，還有一點，要能無限接近 0 和 1 。用數學的語言來說，就是（高能預警）：

記概率密度函數為 f(x)。給定任意的 δ>0 ，則 f(x) 在區間 (0, δ) 上的積分大於零，且在區間 (1-δ, 1) 上的積分也大於零。