过年没事出道题大家玩玩

[zealot0630]

求证：任意有理数能表示为有限个 1/n 之和，比如

2 = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6

4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20

10/7 = 1/1 + 1/3 + 1/11 + 1/231

任何有理数，包括很大的整数，也包括很小的分数

[whwq2012]

有理数的定义就是非无限不循环小数。非无限不循环小数包括有限小数和无限循环。有限不循环肯定可以表示为多个 1/n 想加，无限循环小数可以表示为某个分数，既然可以表示为分数那肯定可以表示为多个 1/n 相加了。

思路应该是这样的吧，不过我也不会用数学语言表示，数学太菜了。。

[across]

让我思考下。
10/7 不是无理数吗····

[across]

@across 掏出计算器看了下，原来是循环的。

[zealot0630]

忘记说了 n 不能重复啊 就是

2/7 = 1/7 + 1/7

这种不算，必须是不同的分母

[LGA1150]

@across #2 任何有理数均可以表示为分数 a/b 形式（ a b 为整数，b≠0 ）

[DOLLOR]

@across
整数和分数统称为有理数。也就是说，所有分数都是有理数。

[sdijeenx]

楼主是不是对极限的应用有点误会？
就算 LZ 是对的那也应该设这样：
2 ≈ 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6
4/5 ≈ 1/2 + 1/4 + 1/20
10/7 ≈ 1/1 + 1/3 + 1/11 + 1/231

就拿某个被玩坏的数例子：
∑(n=1,∞)n = -1/12
但是
1+2+3+4+5+6+7+...+999999+999999999999999 ≠ -1/12

[hsfzxjy]

你不说能不能重复，p/q 不就是 p 个 1/q 之和么

[thedrwu]

0 和负数不能

[zealot0630]

@sdijeenx 题目不需要极限，都说了有限个的，而且是等于，不是约等于

[hxndg]

我只想到了一个递推式的证明，从 n 到 n+1。没仔细验证，看看别人想法🙃🙃

[xml123]

这不就是埃及人表示分数的方法吗

[zealot0630]

@xml123 还真不知道 涨见识了 埃及人 2000 年前掌握的知识 这里有几个人能证明出来呢

[stevenashmvp10]

思考
感觉要用抽屉原理，但是抽屉原理不满足题目需求吧，不可能都是 1/n 啊，应该是有重复的啊

[sdijeenx]

哦哦原来是这个意思～如果数字重复的话可以先取两个整数 a,b，那么：
a=(a*b)/b，然后对 a*b 分解指数，并将得到的结果尝试组合成分别相加=a*b 的式子。
再举个栗子：
a=6,b=3, a*b=18=2*3^2
6=18/3=(1+6+2+9)/3=(1+3+3+2+3+3+3)/3=1/3+3/3+3/3+2/3+3/3+3/3+3/3 = 1/3+1/1+1/1+2/3+1/1+1/1+1/1

[zealot0630]

@sdijeenx 不能重复的哦 能重复的话 n/m = 1/m + ... + 1/m (n 个 1/m) 就可以了

[hxndg]

@stevenashmvp10
还行，每个数字都是可以继续拆开的。

[sdijeenx]

@zealot0630 先搞定允许重复的情况找下规律ಥ_ಥ（如果 LZ 允许重复的话问题已经解决了）

[thedrwu]

https://math.stackexchange.com/questions/1925131/how-can-i-prove-that-every-rational-number-can-be-expressed-as-the-sum-of-1-n

[sdijeenx]

@thedrwu 没错就是这个可以结贴了ಥ_ಥ