过年没事出道题大家玩玩

[zealot0630]

求证：任意有理数能表示为有限个 1/n 之和，比如

2 = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6

4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20

10/7 = 1/1 + 1/3 + 1/11 + 1/231

任何有理数，包括很大的整数，也包括很小的分数

[aijam]

@zealot0630 #24
> 下面俩答案只证明了小于 1 的有理数，并没有证明所有有理数可以，虽然也是证明的关键步骤，但是前面还少了一些步骤

H(n) = 1/1 + 1/2 + ... + 1/n，由于 H(n)发散，对任意一个有理数 x，总能找到 H(n) <= x <= H(n+1)。
如果任意等号成立，则平凡解。
否则，有 H(n) < x < H(n+1)，则 0 < x - H(n) < 1/(n+1)。
已证明 x - H(n)可以被表示，且这个数比 1/(n+1)小所以不会和 H(n)里的任意一项重复。
再加上 H(n)就是 x 了。

[zealot0630]

@aijam 下面那个新答案就是我刚才去写的

[aijam]

@zealot0630 哈哈，一样啦

[gabon]

反证吗，假设一个数 m/n 不可以这样构造，然后证明是可以这样分解的。

[Kirscheis]

@eccstartup 我不是说了吗，最后要用不等式说明算法是有限终止的，怎么就无法证明了。。

我在外面玩没法细说，你写出两项来简单缩放一下就看出来怎么证明了。。这个算法可以保证每次迭代得到的新分数的分子总是单调下降的，因为分子是个正数而且是整数，所以对任意大的起点必定是有限终止的

[SHawnHardy]

@across 有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的

[macg0406]

1. 任意 m/n 都可以分解成 m 个 1/n
2. 对任意的 1/n 都可以分解成 1/2n + 1/3n + 1/6n

任意正有理数都可以分解成有限个 m1/n1 + m2/n2 + ... + mk/nk，即 m1 个 1/n1 项, m2 个 1/n2 项，... , mk 个 1/nk 项
3. 对于 mk 大于 1 中最大的 nk, 可以将 mk/nk，可以分解为 1/nk + (mk-1)*(1/2nk + 1/3nk + 1/6nk)，考虑到相同分母合并(不约分)，分母为 2nk, 3nk, 6nk 的项的数目小于等于 mk(前面假设大于 nk 的项的数目最多为 1), 该步骤可以在分母小于 nk 的项不变的情况下使 nk 变大过 mk 变小，因此该步骤有穷。
4. 重复步骤 3，直到所有相同分母项的个数都为 1。

如 3= 3/1
=1/1+2/2 +2/3 +2/6
= 1/1 +2/2 +2/3 +1/6 +1/12 +1/18 +1/36
= 1/1 + 2/2 +1/3 + 2/6 + 1/9 +1/12 +2/18 +1/36
= 1/1 + 2/2 +1/3 + 2/6 + 1/9 +1/12 +1/18 +2/36 + 1/54 +1/108
= 1/1 +2/2 +1/3 + 2/6 + 1/9 +1/13 +1/18 +1/36 +1/54 +1/72 +1/108+1/144
....

[zealot0630]

@macg0406 这个证明是错的，你只用到了所有分母为 2^p*3^q 的项，然而即使把这些项全部加起来，极限是存在的，极限为 1/[(1-1/2)(1-1/3)]=3 （用等比求和公式），就是说>3 数的都无法表示，即使是 3 也需要无穷多项。

[macg0406]

@zealot0630 是错了，1/n 分解成 1/(n+1) +1/n(n+1) 应该就可以了。

[zealot0630]

@macg0406 是可以，但是你无法证明其可以，比如 100，要一直分解，直到分解到约 1/e^100 才终止。你很难证明这个分解一定终止，数学是严谨的，你必须证明第四步一定会在有限步终止

[zhiqiang]

p/(pq+x) = 1/(q+1) + (p-x)/((pq+x)(q+1))

小于 1 的分数，可以分解，使得分子越来越小，直到变为 0，结束。

大于 1 的数，可以先 1+1/2+1/3 一直下去，直到剩余数足够小，然后重复上面步骤。

[zhiqiang]

修改一个笔误。

p/(pq+x) = 1/(q+1) + (p-x)/((pq+x)(q+1))，其中 0<x<p。

小于 1 的分数，可以分解，使得分子越来越小，直到变为 1，结束。

大于 1 的数，可以先 1+1/2+1/3 一直下去，直到剩余数足够小，然后重复上面步骤。

[mobaui]

你们在说什么？我自闭了

[sunziren]

你们到底在说什么？我也自闭了