重新整理了一遍排序算法，结合自己开发的算法宝 App的录屏，转成 webp 动画一起分享给大家，适合新手入门。
排序的复杂度一览
| 算法 | 时间复杂度:最好 | 时间复杂度:平均 | 时间复杂度:最坏 | 空间复杂度:最坏 | 稳定性 |
|---|---|---|---|---|---|
| 冒泡排序 | O(n) | O(n^2) | O(n^2) | O(1) | 稳定 |
| 选择排序 | O(n^2) | O(n^2) | O(n^2) | O(1) | 不稳定 |
| 插入排序 | O(n) | O(n^2) | O(n^2) | O(1) | 稳定 |
| 希尔排序 | O(n) | O(n^3/2) | O(n^2) | O(1) | 不稳定 |
| 快速排序 | O(nlogn) | O(nlogn) | O(n^2) | O(logn) | 不稳定 |
| 归并排序 | O(nlogn) | O(nlogn) | O(nlogn) | O(n) | 稳定 |
| 计数排序 | O(n+k) | O(n+k) | O(n+k) | O(k) | 稳定 |
| 基数排序 | O(nk) | O(nk) | O(nk) | O(n+k) | 稳定 |
| 堆排序 | O(nlogn) | O(nlogn) | O(nlogn) | O(1) | 不稳定 |
时间复杂度(time complexity)
用来描述算法的运行时间。常用大 O 符号表述。比如：O(n)，O(1)，O(logn)，O(n^2)等。举例： O(n)表示线性级复杂度，表示时间复杂度和元素 element 数量 n 成正比。比如数组的线性查找的复杂度随着元素数量增加而增加。 O(1)表示常数级复杂度，表示时间复杂度不随元素 element 数量变化而变化。比如链表的插入的复杂度不随链表节点数量变化而变化。 其他常见的复杂度如下图所示：
空间复杂度(Space Complexity)
对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。也可用大 O 符号表述。举例： O(n)表示线性级复杂度，表示算法所需空间大小和元素数量成正比，比如归并排序，需要额外的临时空间来保存两个数组的合并结果，元素越多所需空间越大。 O(n)表示常数级复杂度，表示算法所需空间大小和元素数量无关。
排序的稳定性
动图
核心思路
将数组分为左右两部分，左为无序部分，右为有序部分。无序部分中的最大数在每次遍历结束后被交换到无序部分的最右侧，继而成为有序部分的最左侧元素，就像冒泡一样。
代码
func sort(_ a:inout Array<Int>){
let n = a.count
for i in 0..<n-1 {
var isSorted = true
for j in 0..<n-1-i {
if a[j] > a[j+1] {
a.swapAt(j, j+1)
isSorted = false
}
}
if isSorted {
break
}
}
}
代码讲解
使用双重循来遍历，把双重循环分为内循环和外循环。
特点
两两比较，不存在跳跃，所以稳定。 每次遍历都能检查数组是否有序，可提前退出排序，但是冒泡的交换在内循环，交换次数多。实际效率比选择排序低。
复杂度分析
最好的情况可以达到 O(n)，最坏的情况是 O(n^2)，平均 O(n^2)。
动图
核心思路
将数组分为左右两部分，左为有序部分，右为无序部分。无序部分每次遍历选择出一个最小的元素，交换到无序部分的最左侧，继而成为有序部分的最右侧元素。
代码
func sort(_ a:inout Array<Int>){
let n = a.count
for i in 0..<n-1 {
var iMin = i
for j in i+1..<n {
if a[iMin] > a[j] {
iMin = j
}
}
a.swapAt(i, iMin)
}
}
代码讲解
使用双重循来遍历，把双重循环分为内循环和外循环。
特点
由于交换动作放在外循环，交换次数少于冒泡，实际效率优于冒泡。除非本来就是有序的数组的最好情况，选择排序还是要进行比较和交换，而冒泡排序一次 n 的遍历就能提前退出。 不稳定，举个例子，序列 5 8 5 2 9 ， 我们知道第一遍选择第 1 个元素 5 会和 2 交换，那么原序列中 2 个 5 的相对前后顺序就被破坏了）
复杂度分析
最好情况 O(n^2)，最坏情况 O(n^2)，平均 O(n^2)。
动图
核心思路
将数组分为左右两部分，左为有序部分，右为无序部分。遍历有序部分，将无序部分首元素，根据其大小在有序部分寻找合适的位置并插入。
代码
func sort(_ a:inout Array<Int>){
let n = a.count
for i in 1..<n {
print(" i=\(i)")
let value = a[i]
var hole = i
while hole > 0 && a[hole-1] > value {
a[hole] = a[hole-1]
hole -= 1
}
a[hole] = value
}
}
代码讲解
使用双重循来遍历，把双重循环分为内循环和外循环。
特点
选择排序的比较开销是固定的 n(n-1)/2,而插入排序平均下来是 n(n-1)/4 。 选择排序最多只需要执行 2(n-1)次交换，而插入排序平均的交换开销也是 n(n-1)/4 。这就取决于单次比较和交换的开销之比。如果是一个量级的，则插入排序优于选择排序，如果交换开销远大于插入开销，则插入排序可能比选择排序慢。 两两比较，不存在跳跃，所以稳定。
复杂度分析
最好情况 O(n)，最坏情况 O(n^2)，平均 O(n^2)。
动图
核心思路
在插入排序基础上引入增量 gap 概念，是插入排序的改进。
代码
func sort(_ a:inout Array<Int>){
let n = a.count
var gap = n / 2
while gap > 0 {
for i in gap..<n {
let value = a[i]
var hole = i
while hole > 0 && a[hole-1] > value {
a[hole] = a[hole-1]
hole -= 1
}
a[hole] = value
}
gap /= 2
}
}
代码讲解
当增量 gap 为半数时，在整个数组中选取右边 1/2 部分进行插入排序，在此结果上在整个数组中选取右边 3/4 部分进行插入排序，反复这个过程，直到最后一次对整个数组做插入排序，最终成为有序数组。 每次做插入排序的部分从 gap 开始，每次扩大做插入排序的范围。
特点
希尔排序算法 1959 年提出，是直接插入排序算法的一种改进，减少了移动次数，平均时间复杂度比插入快。是第一批时间复杂度低于 O(n^2)的排序算法。 插入排序是稳定的，而 shell 排序会分组，相同的数分在不同的组内各自进行移动打破稳定性。所以不稳定。
复杂度分析
gap /= 2 表示折半的方式选取增量。究竟应该选取什么样的增量才是最好，目前还有数学上的定论。最坏的情况是 O(n^2)，在使用了增量后，平均时间复杂度 O(n^(3/2))。
动图
核心思路
将数组最右侧的元素作为一个参照值 pivot，以参照值为标准，将数组拆分 patition 为 3 个部分：比参照值小的部分，参照值，比参照值大的部分。 将这个过程再分别应用到较小部分和较大部分中继续拆分，直到所有部分被拆分成 1 个元素无法再拆分，就完成了排序。 这是一个分而治之的方法，也是一个递归的过程。
代码
func sort(_ a:inout Array<Int>, start: Int, end: Int){
if start < end {
let partitionIndex = partition(&a, start: start, end: end)
sort(&a, start: start, end: partitionIndex-1 )
sort(&a, start: partitionIndex+1, end: end )
}
}
func partition(_ a:inout Array<Int>, start: Int, end: Int) -> Int {
let pivot = a[end]
var partitionIndex = start
for i in start..<end {
if a[i] <= pivot {
a.swapAt(i, partitionIndex)
partitionIndex += 1
}
}
a.swapAt(partitionIndex, end)
return partitionIndex
}
代码讲解
每次递归将数组拆分成前部，基准值，后部 3 部分，前部比后部小。按此方法再递归调用前，后部分，最终达到从小到大的排序。
特点
快速排序是一种交换类的排序，它同样是分治法的经典体现。 如果 pivot 的值有重复，pivot 作为参照放在前后两部中间有可能打破稳定性，所以不稳定。
复杂度分析
待排序数组最终被拆分成深度为 logn+1 的二叉树。拆分次数为 logn 。第一次拆分时，总共的执行时间是 Cn(C 为固定的单位时间常数)；第二次拆分时，每个子序列的执行时间为 Cn/2 ，总的执行时间是 Cn/2+Cn/2=Cn ；第三次拆分时，总时间时 Cn/4+Cn/4+Cn/4+Cn/4+=Cn ，所以每次执行复杂度都是 Cn 。 每次执行复杂度 Cn * 拆分次数 log(n) = 快排复杂度 O(nlogn)。最坏情况 O(n^2)。
动图
核心思路
将两个有序数组，合并为一个新的有序数组就是做归并。 归并排序中，将数组从中间分解为左右两部分，将这个过程再应用到左右部分中继续分解。最后把 n 个元素的数组分解为只有 1 个元素的 n 个数组。这种情况下，满足两个有序数组进行的归并条件，开始再两两归并，直到合并出一个新的有序数组就完成了排序。 这是一个分而治之的方法，同时也是一个递归的过程。
代码
func sort(a: [Int]) -> [Int] {
let n = a.count
if n == 1 {
return a
}
var left = Array(a[0..<n/2])
var right = Array(a[n/2..<n])
left = sort(a: left)
right = sort(a: right)
let m = merge(left: left, right: right)
return m
}
func merge(left: [Int], right: [Int]) -> [Int] {
var mergedList = [Int]()
while left.count > 0 && right.count > 0 {
if left.first! < right.first! {
mergedList.append(left.first!)
left.removeFirst()
} else {
mergedList.append(right.first!)
r.removeFirst()
}
}
return mergedList + left + right
}
代码讲解
特点
该算法采用经典的分治（ divide-and-conquer ）策略。分治法将问题分(divide)成一些小的问题然后递归求解。两两比较，不存在跳跃，所以稳定。
复杂度分析
归并排序的效率是比较高的，设数列长为 n ，将数列分开成小数列一共要 logn 步，每步都是一个合并有序数列的过程，时间复杂度可以记为 O(n)，故一共为 O(nlogn)。对空间有要求，空间复杂度 O(n)。所以，归并排序是一种比较占用内存，但却效率高且稳定的算法。
动图
核心思路
通过前面元素出现的累计次数确定当前元素的位置，比如第一个元素 1 出现 3 次，那么元素 2 的位置从第 4 个开始，元素 2 出现 4 次，那么元素 3 的位置从第 8 个开始。
代码
func sort(_ a:inout Array<Int>) {
let max = a.max() ?? 0
let min = a.min() ?? 0
let k = max - min + 1
var counts = [Int](repeating: 0, count: k)
for item in a {
let i = item - min
counts[i] += 1
}
var prefixSums: [Int] = counts
for i in 1..<counts.count {
prefixSums[i] = prefixSums[i - 1] + counts[i]
}
var sorted = [Int](repeating: 0, count: a.count)
for i in 0..<a.count {
let key = a[i]
let index = key - min
let prefixSum = prefixSums[index]
sorted[prefixSum - 1] = key
prefixSums[index] -= 1
}
a = sorted
}
代码讲解
在无序数组中，先找出最大值 max 和最小值 min ，从而确定需要开辟 max-min+1 大小空间的计数数组和累计数组。
特点
计数排序是一个稳定的非比较排序算法。它的优势在于在对一定范围内的整数排序，比如对 1 万名学生的考试分数做排序。计数排序是一种以空间换时间的排序算法，整数大小差异越大，所需要的空间越大。
复杂度分析
计数数组的大小为 k ，无序数组大小为 n ，复杂度为Ο(n+k)，所以时间复杂度是 O(n)；由于申请了大小为 k 的桶来放计数，所以空间复杂度是 O(k)。
动图
核心思路
是一种非比较的整数排序算法。其原理是将整数按位数切割成不同的数字，然后对每个位数上的数字进行分别比较。第一轮先按个位数大小排序，第二轮按十位数大小排序，一直进行到最高位。实际上是也一种桶排序，从 0 到 9 一共分 10 个桶。
代码
func sort(_ a:inout Array<Int>){
let maxValue = a.max() ?? 0
var buckets = [[Int]](repeating: [], count: 10)
var powerOfTen = 1
while maxValue / powerOfTen > 0 {
a = a.compactMap { value in
buckets[value / powerOfTen % 10].append(value)
return nil
}
buckets = buckets.map { bucket in
bucket.forEach { value in
a.append(value)
}
return []
}
powerOfTen *= 10
}
}
代码讲解
先找到最大数，算出最大数有几位，则进行几次桶排序。 powerOfTen 初始为 1 ，每次 while 循环则乘以 10 倍，这样 while 循环的次数就是最大数的位数。 10 个桶，当进行个位数比较的时候，桶 n 保存个位为 n 的元素，当进行十位数比较的时候，桶 n 保存十位为 n 的元素。
特点
是一种非比较的稳定的整数排序算法。 不适用于数字的位数 k 多，但是排序的数少的情况； 适用于数字小但是排序的数字多的情况。
复杂度分析
复杂度是 O(n*k)。其中 n 是排序元素个数，每轮处理的操作数目； k 是数字位数，决定了进行多少轮处理。 并不一定优于 O(n·logn)，当 k>logn ，就没有归并、堆排序快。
相关概念：
动图
核心思路
大顶堆的顶是最大的，所以堆排序的过程就是反复的构造堆。 第一次构建的堆顶最大，和堆尾交换放在数组最后一位，第二次构建的堆的堆顶第二大，放在倒数第二位，以此类推进行排序。
代码
func sort(_ a:inout Array<Int>){
// 构建初始堆
createHeap(a: &a)
// 重建堆。逆序遍历反复构建大顶堆，遍历一次，顶被摘掉放入结果数组 a 尾部，直到最后无法构建堆，结果就是有序数组 a
for index in a.indices.reversed() {
siftDown(from: 0, upTo: index, a: &a)
}
}
func createHeap(a:inout Array<Int>) {
if !a.isEmpty {
//从 a.count/2 - 1 开始到 0 结束，逆序遍历。a.count/2 - 1 是第一个非叶子节点，向根部遍历
for i in stride(from: a.count/2 - 1, through: 0, by: -1) {
siftDown(from: i, upTo: a.count, a: &a)
}
}
}
func siftDown(from index: Int, upTo size: Int, a:inout Array<Int>) {
var parent = index
while true {
let left = a[leftChildIndex(ofParentAt: parent)]
let right = a[rightChildIndex(ofParentAt: parent)]
var candidate = parent
if left < size && a[left] > a[candidate] {
candidate = left
}
if right < size && a[right] > a[candidate] {
candidate = right
}
if candidate == parent {
return
}
a.swapAt(parent, candidate)
parent = candidate
}
}
// 在树的顺序存储中，返回 i 的左子节点的下标
func leftChildIndex(ofParentAt i: Int) -> Int {
return (2 * i) + 1
}
// 在树的顺序存储中，返回 i 的右子节点的下标
func rightChildIndex(ofParentAt i: Int) -> Int {
return (2 * i) + 2
}
代码讲解
先构建堆，可以是大顶堆（也可以是小顶堆）。交换堆顶[0]元素（堆中最大）与末尾[index]元素，再将[0 ，--index]的堆调整为大顶堆。重复到 index 为 0 。
特点
堆尾如果有重复，被交换到数组首再构建堆，会打破稳定性，所以不稳定（记录的比较和交换是跳跃式进行的）。
复杂度分析
整体主要由构建初始堆和重建堆两部分组成。其中构建初始堆经推导复杂度为 O(n)，在交换并重建堆的过程中，需交换 n-1 次；而重建堆的过程中，根据完全二叉树的性质，[log2(n-1),log2(n-2)...1]逐步递减，近似为 nlogn 。所以堆排序时间复杂度一般认为就是 O(nlogn)级。，空间复杂度是 O(1)。
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