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lxyvV2EX 第 656488 号会员，加入于 2023-10-26 16:39:20 +08:00今日活跃度排名 21288 |
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14 天前 回复了 codingadog 创建的主题 › OpenAI › 你们的 gpt 还正常么（Android 手机端） |
ver 1.2024.052 小米的，刚测了下都正常的
14 天前 回复了 zhouyin 创建的主题 › 问与答 › 你用的马桶是什么牌子 有什么特殊功能 |
本人鼻炎患者常年闻不到味道，不存在这种问题。
15 天前 回复了 Persimmon08 创建的主题 › OpenAI › 这个问题，大家的 GPT 都能答对吗？ |
kimi
为了求解函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时的极限，我们可以分别考虑这两个情况。
### 当 \( x \) 趋近于 0 时
当 \( x \) 趋近于 0 时，我们有：
\[ y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \]
由于 \( \ln(1) = 0 \)，我们可以将 \( 1 + \frac{1}{x} \) 展开为 \( 1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} \)，然后应用对数的性质：
\[ y = x \ln\left(x + \frac{1}{x}\right) \]
当 \( x \) 趋近于 0 时，\( \frac{1}{x} \) 趋近于正无穷，因此 \( x + \frac{1}{x} \) 趋近于 \( \frac{1}{x} \)，所以：
\[ y \to 0 \ln\left(\frac{1}{x}\right) \]
由于对数函数 \( \ln \) 在 \( x \) 趋近于 0 时是无穷小量的高阶，所以：
\[ \lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} 0 \cdot \ln\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \cdot (-\infty) = 0 \]
### 当 \( x \) 趋近于正无穷时
当 \( x \) 趋近于正无穷时，我们有：
\[ y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \]
由于 \( \frac{1}{x} \) 趋近于 0 ，我们可以利用对数的泰勒展开：
\[ \ln(1 + \epsilon) = \epsilon - \frac{\epsilon^2}{2} + o(\epsilon^2) \]
其中 \( \epsilon = \frac{1}{x} \)，当 \( x \) 趋近于正无穷时，\( \epsilon \) 趋近于 0 。因此：
\[ y = x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right) \right) \]
\[ y = 1 - \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right) \]
由于 \( o\left(\frac{1}{x}\right) \) 表示比 \( \frac{1}{x} \) 更高阶的无穷小量，当 \( x \) 趋近于正无穷时，这一项将趋近于 0 。因此：
\[ \lim_{x \to \infty} y = 1 - 0 = 1 \]
综上所述，函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 的极限在 \( x \) 趋近于 0 时为 0 ，在 \( x \) 趋近于正无穷时为 1 。
为了求解函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时的极限，我们可以分别考虑这两个情况。
### 当 \( x \) 趋近于 0 时
当 \( x \) 趋近于 0 时，我们有：
\[ y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \]
由于 \( \ln(1) = 0 \)，我们可以将 \( 1 + \frac{1}{x} \) 展开为 \( 1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} \)，然后应用对数的性质：
\[ y = x \ln\left(x + \frac{1}{x}\right) \]
当 \( x \) 趋近于 0 时，\( \frac{1}{x} \) 趋近于正无穷，因此 \( x + \frac{1}{x} \) 趋近于 \( \frac{1}{x} \)，所以：
\[ y \to 0 \ln\left(\frac{1}{x}\right) \]
由于对数函数 \( \ln \) 在 \( x \) 趋近于 0 时是无穷小量的高阶，所以：
\[ \lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} 0 \cdot \ln\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \cdot (-\infty) = 0 \]
### 当 \( x \) 趋近于正无穷时
当 \( x \) 趋近于正无穷时，我们有：
\[ y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \]
由于 \( \frac{1}{x} \) 趋近于 0 ，我们可以利用对数的泰勒展开：
\[ \ln(1 + \epsilon) = \epsilon - \frac{\epsilon^2}{2} + o(\epsilon^2) \]
其中 \( \epsilon = \frac{1}{x} \)，当 \( x \) 趋近于正无穷时，\( \epsilon \) 趋近于 0 。因此：
\[ y = x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right) \right) \]
\[ y = 1 - \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right) \]
由于 \( o\left(\frac{1}{x}\right) \) 表示比 \( \frac{1}{x} \) 更高阶的无穷小量，当 \( x \) 趋近于正无穷时，这一项将趋近于 0 。因此：
\[ \lim_{x \to \infty} y = 1 - 0 = 1 \]
综上所述，函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 的极限在 \( x \) 趋近于 0 时为 0 ，在 \( x \) 趋近于正无穷时为 1 。
15 天前 回复了 sorakado 创建的主题 › iPhone › 拼多多开始用灵动岛放广告了？ |
PDD 已经卸了，这种流氓公司就算东西卖的再便宜也不会买
18 天前 回复了 REDGroundwu 创建的主题 › 职场话题 › 在接到口头 offer 后，应该从哪些因素去判断？ |
先恭喜 OP 进入备胎库，这个职位是招聘网站里发布的吗？看看还在不在招就知道了。
21 天前 回复了 qingshui33 创建的主题 › 生活 › 在外漂泊的人儿们，哪一刻最想回家 |
最怕家里人半夜突然打电话，在外漂泊的人应该都懂。
21 天前 回复了 qq1147 创建的主题 › 职场话题 › 如果从今天起不上班，你会以什么方式谋生/搞钱？ |
啃老
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