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lxyvV2EX 第 656488 号会员，加入于 2023-10-26 16:39:20 +08:00今日活跃度排名 1578 |
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21 小时 49 分钟前 回复了 forgottenPerson 创建的主题 › English › 没有英文环境氛围下是不是永远不可能口语很流利 |
根据我的个人经验，我上学时英文很差，词汇量很少学不懂语法完全没开过口，上班后阴差阳错的进了外企，泰国老板面试，全靠面试前临时死记硬背了一些面试题，所幸问的问题全都被我猜中了。进公司后把自己所有设备和系统的显示语言改成了英文(甚至包括平时玩的游戏里的语言)，经常性的要和老外开会，大部分是进会听一听就好，只有个 bi weekly 的会需要汇报下近期工作。在这种环境工作一年后，虽然发音不标准，应付基本的会议和回邮件已经没啥问题了。
2 天前 回复了 userKamtao 创建的主题 › 职场话题 › 你们收到过这样的邮件吗？像是诈骗吗？ |
这公司一看就是搞网赌的，OP 肉身在国内的话就别接了。
2 天前 回复了 WilsonGGG 创建的主题 › 分享发现 › [分享] 个人简单记账实践——记账我有四不记 |
我用的钱迹，18 年记到现在，只用最基本的功能，记录每一笔支出和收入，我也是不记录还贷还卡，例如京东买东西用的白条，我会在下单时就记上这笔，而不是还白条时统一记。
2 天前 回复了 chenfang 创建的主题 › 投资 › 关于家庭现有一百万存款，请问应该怎么投资利益最大化？ |
我是买的银行锁定票息的理财，3 点几的利息，每个月能有个两千来块还算稳定，当零花钱了。
17 天前 回复了 codingadog 创建的主题 › OpenAI › 你们的 gpt 还正常么（Android 手机端） |
ver 1.2024.052 小米的，刚测了下都正常的
17 天前 回复了 zhouyin 创建的主题 › 问与答 › 你用的马桶是什么牌子 有什么特殊功能 |
本人鼻炎患者常年闻不到味道，不存在这种问题。
18 天前 回复了 Persimmon08 创建的主题 › OpenAI › 这个问题，大家的 GPT 都能答对吗？ |
kimi
为了求解函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时的极限，我们可以分别考虑这两个情况。
### 当 \( x \) 趋近于 0 时
当 \( x \) 趋近于 0 时，我们有：
\[ y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \]
由于 \( \ln(1) = 0 \)，我们可以将 \( 1 + \frac{1}{x} \) 展开为 \( 1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} \)，然后应用对数的性质：
\[ y = x \ln\left(x + \frac{1}{x}\right) \]
当 \( x \) 趋近于 0 时，\( \frac{1}{x} \) 趋近于正无穷，因此 \( x + \frac{1}{x} \) 趋近于 \( \frac{1}{x} \)，所以：
\[ y \to 0 \ln\left(\frac{1}{x}\right) \]
由于对数函数 \( \ln \) 在 \( x \) 趋近于 0 时是无穷小量的高阶，所以：
\[ \lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} 0 \cdot \ln\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \cdot (-\infty) = 0 \]
### 当 \( x \) 趋近于正无穷时
当 \( x \) 趋近于正无穷时，我们有：
\[ y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \]
由于 \( \frac{1}{x} \) 趋近于 0 ，我们可以利用对数的泰勒展开：
\[ \ln(1 + \epsilon) = \epsilon - \frac{\epsilon^2}{2} + o(\epsilon^2) \]
其中 \( \epsilon = \frac{1}{x} \)，当 \( x \) 趋近于正无穷时，\( \epsilon \) 趋近于 0 。因此：
\[ y = x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right) \right) \]
\[ y = 1 - \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right) \]
由于 \( o\left(\frac{1}{x}\right) \) 表示比 \( \frac{1}{x} \) 更高阶的无穷小量，当 \( x \) 趋近于正无穷时，这一项将趋近于 0 。因此：
\[ \lim_{x \to \infty} y = 1 - 0 = 1 \]
综上所述，函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 的极限在 \( x \) 趋近于 0 时为 0 ，在 \( x \) 趋近于正无穷时为 1 。
为了求解函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时的极限，我们可以分别考虑这两个情况。
### 当 \( x \) 趋近于 0 时
当 \( x \) 趋近于 0 时，我们有：
\[ y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \]
由于 \( \ln(1) = 0 \)，我们可以将 \( 1 + \frac{1}{x} \) 展开为 \( 1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} \)，然后应用对数的性质：
\[ y = x \ln\left(x + \frac{1}{x}\right) \]
当 \( x \) 趋近于 0 时，\( \frac{1}{x} \) 趋近于正无穷，因此 \( x + \frac{1}{x} \) 趋近于 \( \frac{1}{x} \)，所以：
\[ y \to 0 \ln\left(\frac{1}{x}\right) \]
由于对数函数 \( \ln \) 在 \( x \) 趋近于 0 时是无穷小量的高阶，所以：
\[ \lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} 0 \cdot \ln\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \cdot (-\infty) = 0 \]
### 当 \( x \) 趋近于正无穷时
当 \( x \) 趋近于正无穷时，我们有：
\[ y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \]
由于 \( \frac{1}{x} \) 趋近于 0 ，我们可以利用对数的泰勒展开：
\[ \ln(1 + \epsilon) = \epsilon - \frac{\epsilon^2}{2} + o(\epsilon^2) \]
其中 \( \epsilon = \frac{1}{x} \)，当 \( x \) 趋近于正无穷时，\( \epsilon \) 趋近于 0 。因此：
\[ y = x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right) \right) \]
\[ y = 1 - \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right) \]
由于 \( o\left(\frac{1}{x}\right) \) 表示比 \( \frac{1}{x} \) 更高阶的无穷小量，当 \( x \) 趋近于正无穷时，这一项将趋近于 0 。因此：
\[ \lim_{x \to \infty} y = 1 - 0 = 1 \]
综上所述，函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 的极限在 \( x \) 趋近于 0 时为 0 ，在 \( x \) 趋近于正无穷时为 1 。
18 天前 回复了 sorakado 创建的主题 › iPhone › 拼多多开始用灵动岛放广告了？ |
PDD 已经卸了，这种流氓公司就算东西卖的再便宜也不会买
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