连通性推出区间的证明过程中，全称量词和存在量词是不是用错了？

[huzhikuizainali]

以下是证明过程（出自《数学分析新讲第一册 P120 》）的截图，问题在截图下方提出。

请看上面的证明。引理正文高亮处命题要求是“任意” α和β ，如果要按照这个条件推出集合 J 是一个区间我觉得很合理。

但是在证明过程中，却使用了“任意”γ “存在”α和β。我认为这样证明至少存在两个问题：

1 、歪曲了引理中命题的本意。命题的本意是“任意” α和β。所以证明的起点就错了！

2 、从“任意”γ ，“存在”α和β ，以及 A≤α<γ<β≤B,并不能导出γ∈J 。我举个例子加以说明假设 A=1 B=5 J=(1,2)∪(4,5) 。此时γ=3 也满足“任意”γ∈(A,B),同时一定“存在”α和β∈J ，使得 A≤α<γ<β≤B ，但是此时γ∉J ，进而后续证明的逻辑链条就断了！

以上就是我对这个证明的困惑，可否指出我哪里想错了？谢谢！

[halfdb]

先不要考虑证明中的 alpha beta gamma 和条件中的三个变量的关系。我换一个表达：
1. 对于任意 z∈(A,B)，按照确界的定义，存在 x 和 y∈J 使得 A≤x<z<y≤B
2. 按照 1 和条件（ x 和 y 之间的任何实数属于 J ），因而 z ∈J
3. 综合 1 与 2 ，由于任意 z∈(A,B)都属于 J ，所以(A,B)是 J 的真子集。

[huzhikuizainali]

@halfdb 谢谢你的解答。为了验证一下我是否真的理解你的回答。我再叙述一下，请你看看我是否准确的理解了你的回答？

α<γ<β 推出 γ∈J-------------这个结论是无需证明的！因为这是命题给出的条件“介于α和β之间的任何实数γ也一定属于 J”。是证明的起点！

这个证明的思路是利用“命题条件”+“确界定义”。来说明“任意” γ∈(A,B)这个 “有前提条件” 的γ也属于 J ，目的是推出(A,B)⊂J 的结论。

[halfdb]

@huzhikuizainali
正确