怎样正确地将 1 升水随机分成 3 份

[qinjiannet]

之前一直认为将 1 升水随机分成3份应该这样操作：

第 1 份，从 1 升水中取出 X 升， X 是[0, 1]之间的随机数

第 2 份，从剩下的水中取出 Y 升， Y 是[0, 1 - X]之间的随机数

第 3 份，剩余的水为 1 - X - Y

但实际上这样并不等同于“随机分成3份”

（惊讶脸）

正确的做法貌似是这样的：

第 1 份，从 1 升水中取出 X 升， X 是[0, 1]之间的随机数

第 2 份，从 1 升水中取出 Y 升， Y 是[0, 1]之间的随机数，若X + Y > 1，则从第1步重新开始

第 3 份，剩余的水为 1 - X - Y

[banixc]

所以什么叫做“随机分成 3 份”。
这里“随机”的定义是什么？

[DiamondbacK]

正确的做法是：
先给出「随机分成 3 份」的操作性定义，再执行这个操作。

概率论民科的一大原罪就是越过定义讨论问题。
参考「贝特朗悖论」。

[cgcs]

恩，照一般逻辑理解：

随机生成三个[0,1]之间的随机数， A,B,C

SUM = A + B + C

第一份水 = A/SUM （升）
第二份水 = B/SUM （升）
第三份水 = C/SUM （升）

[Quaintjade]

不是很喜欢“从第 1 步重新开始”这种做法，因为总有倒霉蛋会重复好多次，次数的方差比较大。

抛开水这个比方，其实就是随机三分线段。更好得做法应该是，若 X+Y<=1 ，则三份水为{X,Y,1-X-Y};否则{1-X,1-Y,X+Y-1}。

[murmur]

闭着眼睛扬出去两瓢就完了

[binux]

拿 3 个大盆放地上，站三楼，把水浇下去

[qinjiannet]

@Quaintjade 感谢，学到了一种新方法！

[qinjiannet]

@banixc @DiamondbacK 新增了一条附言：

如果将题面换成：

在长度为一米的木棒上任取两点将木棒分成三段

“任取两点”的定义是否明确？

[Herobs]

取 3 个 [0-] 随机数 X ， Y ， Z ， SUM = X + Y + Z

结果就是 X / SUM, Y / SUM, Z / SUM

[Herobs]

发现和 #3 一样。。。

[NeinChn]

结果是 X / SUM, Y / SUM, Z / SUM 的需要优化一下
浮点数都是有误差的
所以应该是 X / SUM, Y / SUM ， SUM - X / SUM - Y / SUM
否则加起来不是 SUM

[murmur]

@NeinChn 与其优化你的浮点数不如找点无残留的理想容器

[menc]

你们光说不行啊，要给出形式化的证明啊，证明期望符合每桶各 1/3 的水
@cgcs
@Quaintjade
@qinjiannet

[murmur]

@menc 你这题面自始至终就没提到过 1/3 这个问题 而且按自然的说法大量的事件统计起来应该印象中是泊松分布？

没人告诉你期望是 1/3 如果要 1/3 的随机数题面要给明的

[lecher]

简化问题不过是线段内任取两点即可。
直接取两个[0-1]随机数， A1 、 A2
则 0-1 之间的距离自然就会被 A1 、 A2 分成三段，并且 A1 、 A2 满足题目要求的随机性。

剩下的就是， A1 、 A2 排个序，假设 A2 是大数，然后第二份的数量是|A2-A1|， 第三份的数量是 1-A2

[lecher]

简化成图片大致就是这个样子。
A1 、 A2 为线段上面的两个随机数，且 A2>A1 。
最终计算出来的三份线段长度就可以满足题目要求的随机性： A1 、 A2-A1 、 1-A2

0-----------A1-------------------A2------------------1
|<--A1--->|<---(A2-A1)--->|<---(1-A2)---->|

[banixc]

@qinjiannet 如果换成木棒的说法，那这个题目的回答应该是这样：
第一步：取 0 < x ,y < 1
第二步：第一份水为 x' = min(x,y) 第二份为 y'= abs(x-y) 第三份为 1-x'-y'
目前我还没有想到如何证明这种取法和原本的取法是等效的。

[murmur]

好吧，喷了半天我才明白楼主要的点是什么
（ 1 ）作为理工科，严谨性是第一的，在自然界均匀分布并不是那么好找的，反倒是什么泊松分布了，高斯分布了比较好找，如果是真人倒水的话，第一下绝大多数我认为会选择 1/2 以下，因为倒太多了第二次倒什么啊，理想容器这些情况也不能少，高中都知道的东西怎么在网上提问就忘了呢？
（ 2 ）你可以去翻翻概率论的书，这个题实际上是给定 x 的分布求 f(x)的分布（特么我也不确定了），所以说如果你不给定你“随机”的方式，没人保证最后的期望是 1/3 ，所以说高等数学有用啊，大学无用论这不就看出来么，按照你的要求，我认为 A/(A+B+C)，其中 A 、 B 、 C 都是均匀分布反倒是最靠谱的答案，虽然这个也需要数学证明

[Quaintjade]

@qinjiannet
“在线段上随机取一点”一般不会有歧义，通常默认为连续均匀分布的概率。
“在线段上任取两点”通常默认为取两点是相互独立的。

但请注意以上只是习惯上默认，严格来说你应该用数学语言限定“随机”这个概念，否则就像 2 楼提到的「贝特朗悖论」那样，“在圆上随机取弦”就会导致歧义。

[Quaintjade]

@banixc 去问折棒太郎