挑战概率题：冰箱 1 有 30 瓶可乐，冰箱 2 里有 31 瓶， 60 天随机拿走 1 瓶..

[WinG]

冰箱 1 有 30 瓶可乐，冰箱 2 里有 31 瓶，60 天内随机在 1 、2 中拿走 1 瓶..，

60 天后冰箱 2 刚好剩下 1 瓶的概率是多少？

据说答错的人极多。

[chairuosen]

@gtchan13579 #38 你去面试，要么过要么挂，那么你过的概率就是 50%了？

[cigarzh]

懒人直达

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum%5B%2860%21%2F%28%2860-i%29%21*i%21%29%29%2C%7Bi%2C0%2C30%7D%5D%2F2%5E60

[kop1989]

如果一个冰箱拿空就拿另外一个的话：
答案是 30 天 a，30 天 b 的概率+31 天 a，29 天 b 的概率 + ... + 60 天 a 的概率之和。
不知道这算不算暴力法。

[301]

@across #19 赞同 1/2，相当于 30 个 A 和 31 个 B 排序，最后一个是 B 的概率，为 1/2

[LZSZ]

你们大小月都不算的吗

[301]

等等，计算有误，确实是 31/61

[shuaizi]

31/61,
因为随机拿，每一瓶被剩下的概率都是 1/61,
剩下的一瓶在第二个冰箱里有 31 种可能

[Xs0ul]

等价的问题是，扔 60 次硬币，正面小于等于 30 次的概率，是二项分布的累加和

具体结果楼上已经用 wolfram alpha 算出来了

[cigarzh]

解释：

每天起床抛一枚理想硬币，记录下结果但不去拿可乐（正面冰 1，反面冰 2 ）

到第 60 天晚上按照结果一一拿取可乐。

则，只要反面的记录小于等于 30 次，明天的最后一瓶必在冰 2 中

[chris31326]

0
60 天内只拿了 1 瓶

[Xs0ul]

验证很简单，把数字改小就好了，改成冰箱 1 有 1 瓶，冰箱 2 有 2 瓶，拿两天

按照 31/61 的做法，结果应该是 1/3

实际直接暴力解，概率是第一天拿抽冰箱 1 有 1/2，第一天抽到冰箱 2 并且第二天抽到冰箱 1 是 1/4，合计 3/4

而 3/4 就是 n=2，p=0.5 的二项分布的累加和

[Xs0ul]

@Xs0ul #51 修正 1/3 -> 2/3

[jklzhu]

二分之一，只需要考虑最后两个瓶

[sixg0d]

31/61 是错的。
转换成摸双色球是不等价的。随机事件都被改了：（在不考虑为空的情况下）原题概率分别为 0.5，而双色球概率是按球数分配。
转换成排列组合的序列时，的确最后剩下编号 2 的序列占 b/(a+b)，但问题在于每个序列并不是等概率的，问题出在一个冰箱为空后之后以概率 1 为摸另一冰箱，造成序列的权重不一样。一个简单的反例考虑 n 个编号 1，1 个编号 2 ；要想剩下编号 2，只能一直以 0.5 的概率选编号 1，最后的概率是 0.5^n 而不是 1/(n+1)
36 楼 @SakuraSa 提供的递推式是正确的解法（之一）。

[dilu]

我的理解是一天就拿一瓶 拿空一个冰箱之前，不能从另外一个冰箱拿

那第一次拿就决定了最后一瓶出现在哪个冰箱

如果说随机的话，拿第一瓶的概率就是 1/2 怎么就能搞得这么复杂了

[dilu]

@chairuosen #41 你去面试，要么过要么挂，那么你过的概率就是 50%了？

但是有前提条件，两个人来面试，你必须录取一个人，针对某个人被录用的概率就是 1/2

lz 的题目里面说了 必须要拿一瓶的

[gtchan13579]

@WinG

我觉得这个问题如果站在上帝视角，那么答案就是你认为的 0.55 以及那种算法，但对于拿可乐的人来说一切条件对于他来说一共有多少瓶可乐，每个冰箱有几瓶，他都不关心， 他只关心今天我要从哪个冰箱拿一瓶，以及万一拿空了那我就从另一个冰箱拿了，所以后面 30 瓶可乐他压根不去考虑选择哪个冰箱。所以就是 30/60=1/2，这是从另一种角度来解释为什么是 1/2.

@chairuosen

[gtchan13579]

@gtchan13579 修正一下 57 楼的的说法。
我觉得这个问题如果站在上帝视角，那么答案就是 0.55 以及那种算法，但对于拿可乐的人来说一切条件对于他来说一共有多少瓶可乐，每个冰箱有几瓶，他都不关心或者不知道， 他只关心今天我要从哪个冰箱拿一瓶，以及万一拿空了那我就从另一个冰箱拿了，所以感觉拿可乐=价于选冰箱了，拿光一个冰箱的可乐之后，冰箱 2 最终剩不剩可乐就是必然事件了，所以我站 1/2.

[oaix]

另一种等效的表达 Sum(0.5^(n+30)*combination(29+n, n), {n, 0, 30})

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum%280.5%5E%28n%2B30%29*combination%2829%2Bn%2C+n%29%2C+%7Bn%2C+0%2C+30%7D%29

[Raven316]

题目都没表达清楚啊：到底是随便从 2 个冰箱里拿可乐，还是先等概率选冰箱再拿可乐，说不清楚题意，答案怎么可能正确