向量乘法为什么等同于点积？

[huzhikuizainali]

[Vinty]

没看到你想表达的是什么
x*u = |x||u|*cos(Θ) =y*|u|
u 是一个单位向量，那么这个就等于 x 在 u 上的投影 y

[huzhikuizainali]

@Vinty 谢谢回复。
请问第三行等式，如何从倒数第二步 推出最后一步的？倒数第二步是数值平方。怎么就推出最后一步的点积了？

[Vinty]

我也不知道怎么解释，a^2=a*a

因为向量和自身的夹角为 0 ，那么向量和自己相乘，等于向量模的平方
(xu)^2 = xu*xu = |xu||xu|*cos(Θ)=|xu|^2
前面说了 xu = |x||u|*cos(Θ), |xu| = |x||u|*cos(Θ)=y

[cybird]

向量的平方等于向量模的平方......
a•a=|a|²cos0=|a|²

[0o0o0o0]

https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E

[lance6716]

自己把 aT * b 的逐元素计算写一下就知道了吧

[huzhikuizainali]

@Vinty
谢谢回复。主要是我记得过去学向量相关知识的时候没有学过向量有乘法。或者说向量乘法等于点积。所以：xu*xu = |xu||xu|*cos(Θ) 我就无法理解了。你如果说 xu.xu = |xu||xu|*cos(Θ) 我觉得没问题。

所以这基本就是上述问题最困惑的地方。你是否看过什么教科书上讲过有向量乘法(不是点乘，不是点积，是乘法) 与向量点积等价？如果有书籍讲过这方面内容可否推荐一下？

[huzhikuizainali]

@0o0o0o0 显示视频不存在。

[0o0o0o0]

@huzhikuizainali 你是不是装了什么插件。。。那你直接去 b 站搜 bv 号 BV1ys411472E

[0o0o0o0]

手机端可以搜 bv 号，网页端没法搜 bv 号，在 "www.bilibili.com/" 后面加 "BV1ys411472E" 应该可以访问

[geelaw]

从符号上推测诸 y_i 是数（投影的长度，带符号），然后 y_i = x_i^T u 右边是列向量的转置乘列向量，即 1x1 矩阵。虽然我个人觉得把 1x1 矩阵和数等同会带来很多混乱，但这似乎是习惯了。

注意数和数相乘，就是数和自己的转置相乘，因此 (x_i^T u)(x_i^T u) = (x_i^T u)^T (x_i^T u) = u^T x_i x_i^T u ，这就是最后一个等号，其目的大概是提取左右公因式 u^T 和 u 。

[LiubaiQ]

1. 高数同济版下册，向量的投影的定义是一个标量；
2. 上式 x 和 u 都是向量，用到的运算是向量内积（即点乘），记法是矩阵记法（线代同济版，两向量都为列向量时，向量内积可以记为上式），结果是一个标量；

所以运算符号使用上我觉得没问题。