已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，是逐只筛查好？还是分组筛查好？

[huzhikuizainali]

[wu67]

看成本如何算.
如果只有材料算成本, 那么:
1. 随便抽 3 个出来, 取样混检
2. 根据 1 的结果, 如果 3 个里面有目标, 则在 3 个里面随便抽两个混检. 如果 3 个里面没目标, 在剩余的两个里面取一个捡.
3. 跟据 2 的结果, “2 取 1”问题.
只需要 3 步, 即 3 次检查、3 个成本花费.

如果人力取样也算成本, 例如要花多少时间才能取血...对不起我不会.

[jifengg]

概率学还给老师了，回答一个关于概率不等于 1 的问题，如果说错了欢迎指出。

假设 5 只里面有且只有一只患病，每只患病、不患病的概率分别为 0.2 、0.8 ，逐个化验：
第 1 只就检查出的概率是 0.2
第 2 只就检查出的概率是 0.8*0.2 （不是 2/5 ，简单理解就是 第 1 只不是才化验第 2 只，所以是 0.8*0.2 ）
3 ---> 0.8*0.8*0.2
4 ---> 0.8*0.8*0.8*0.2
5 ---> 0.8*0.8*0.8*0.8 (因为已经确认有一只，所以只要前 4 只都不是，就肯定是第 5 只，所以这里只需要化验 4 次)

以上概率加起来就是 1
概率和化验次数相乘后相加，就是整个的期望化验次数：
1*0.2+2*0.8*0.2+3*0.8*0.8*0.2+4*0.8^3*0.2+4*0.8^4=2.952

[jifengg]

同理，分成 3-2 两组的话，概率是：
0.6 * ( 0.2 + 0.8*0.2 + 0.8*0.8 ) + 0.4 * ( 0.2 + 0.8 )=1

期望次数就得注意一下，一开始化验小组的次数也要加上，就是：

0.6 * ( ①+ 1*0.2 + 2*0.8*0.2 + 2*0.8*0.8 ) + 0.4 * ( ①+ 1*0.2 +1* 0.8 )=2.48

以上两个 ① 就是化验小组的次数

为什么后面那个小组也是①，因为就两组，不在前面那组就在后面那组，所以都只要①次就能确定病患在哪组。

可能有人想算算分成 2-2-1 三组的话，概率和期望怎么算，我算了一个期望，是 2.6 次。你也可以试试。

[jifengg]

不好意思，上面的计算有点问题，等我整理一下重新回复

[jifengg]

我上面解答出错的地方：这个题，“有且只有一个患病”是一个前提，那它就不能等同于“每只患病、不患病的概率分别为 0.2 、0.8”，而应该等同于“患病的这一只在第 1 到第 5 个位置的概率均为 0.2”。

这就简单了，患病的在第 1 个位置，那就只做 1 次化验，在第 n 个位置，就需要做 n 次。
概率是：0.2+0.2+0.2+0.2+0.2
期望是：1*0.2+2*0.2+3*0.2+4*0.2+4*0.2 = 2.8 次

上面我基于“每只患病概率是 0.2”推算的错误的“做 2 次化验找到患病”的概率是 0.8 * 0.2 = 0.16 。
因为这题“有且只有一个患病”，所以一旦确定了第 1 个不患病，就剩 4 个，那第 2 个是患病的概率，就是 1/4 ，而不是 1/5 ，所以应该是 4/5 * 1/4 = 1/5 = 0.2 。

同理“做 3 次化验找到患病”的概率是 4/5 * 3/4 * 1/3 = 1/5

[huzhikuizainali]

@jifengg 谢谢你的详细解答。你的解题过程我看懂了。但是有一个困惑我还是无法消除。

“概率是：0.2+0.2+0.2+0.2+0.2
期望是：1*0.2+2*0.2+3*0.2+4*0.2+4*0.2 = 2.8 次” 你这一步实际上给出了方案甲的分布列。我的困惑在这里。这个分布列如果仅仅拿出前四项讨论。可以看作一个人在一个五面体骰子上下注赌博(比如赌是三点，具体是几点不重要。)。每次一元。那么到了第四次他支付的赌注是 4 元，理论上的回报是 1*0.2+2*0.2+3*0.2+4*0.2=2 元。

这里面有个问题。骰子下一次开几点和前一次开几点是完全无关的！！！对吧。但是甲方案当你检测第一只不是病体，剩下三只每一只是病体的概率就不再是 0.2 了？这一点开起来和 5 面体骰子赌博似乎有不太一样。
但是沿着你的思路去看这个问题。检测开始前。每只个体是病体的概率确实是 0.2 。 我觉得也有道理。所以脑子有点乱了：）））） 还请你指教。

另外，如果甲方案的分布列起个名字。那么他是什么分布？肯定不是二项分布。

[jifengg]

@huzhikuizainali
注意你的题干第一句是“已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病”，你的要求是找到它，所以概率不是”抽中的动物会不会患病“，而是”会不会抽中患病的动物“，换个题干也许你会更清晰：

有 5 个外表一模一样的小球，其中一个比其他的重，问怎么筛选能更快的找到这个重球。

因为你抽出来之后，不会再把球放回去了。所以第一个不是的话，第二个抽中这个重球的概率就是 4 选 1 ，也就变成 1/4 ，而不是 1/5 了。

你用骰子来比喻不对，原因就是骰子不能投一次就去掉一面。

总之，你明确知道了有一个重球，那么每次你能不能抽中它，这个概率就不是固定的，会随着你剩余的球越少，概率越高。

至于叫什么名字，抱歉真不知道了。其他方案在计算的时候也是和甲方案一样的。

[huzhikuizainali]

@jifengg 谢谢答复。
因为你抽出来之后，不会再把球放回去了。所以第一个不是的话，第二个抽中这个重球的概率就是 4 选 1 ，也就变成 1/4 ，而不是 1/5 了。
-----------在 6 楼的回复中，我跟你持同样观点。