Cocycle

释义 Definition

（数学，尤其是代数拓扑/同调代数/群上同调）余循环：一种满足“余边界为零”条件的对象。最常见的语境是上同调中：若一个上链（cochain）(c) 满足 (\delta c = 0)（其 coboundary 为 0），则 (c) 是 cocycle。它用于表示/刻画上同调类（cohomology class）。
注：在不同理论中（如链复形、群上同调、Čech 上同调等）定义形式会略有差异，但核心思想相同。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈkoʊˌsaɪkəl/

例句 Examples

A cocycle has zero coboundary.
余循环的余边界为零。

In group cohomology, changing a cocycle by a coboundary gives a different representative of the same cohomology class.
在群上同调中，用一个余边界去改变余循环，会得到同一上同调类的不同代表元。

词源 Etymology

cocycle 由前缀 **co-**（表示“对偶/伴随”的方向，常见于 cohomology 上同调、coboundary 余边界等术语）+ cycle（循环）构成。它与同调中的 cycle（循环） 形成对偶：同调里关心“边界为零”的循环；上同调里关心“余边界为零”的余循环。

相关词 Related Words

• Cochain
• Coboundary
• Cohomology
• Cycle
• Boundary
• Exact
• Closed
• Differential

文学与经典著作 Literary Works

• Allen Hatcher, Algebraic Topology（常在上同调章节中使用 cocycle / coboundary 来定义与计算上同调类）
• Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra（以链复形与上链复形框架系统讨论 cocycle 与上同调）
• Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra（含 cocycle、coboundary、extensions 等经典主题）
• Kenneth S. Brown, Cohomology of Groups（群上同调中 cocycle 是核心概念，用于描述上同调类与群扩张）