Euclidean Domain

释义 Definition

欧几里得整环（Euclidean domain）：抽象代数中的一种整环，在其中存在一个“欧几里得函数”（常记作 ( \delta ) 或“范数”），使得对任意 (a,b)（(b\neq 0)），都能做类似整数除法的分解：
[ a = bq + r ] 其中 (r=0) 或 ( \delta(r) < \delta(b))。因此可以进行除法算法与欧几里得算法来求最大公因子。欧几里得整环一定是主理想整环（PID），进而也是唯一分解整环（UFD）。

发音 Pronunciation (IPA)

/juːˈklɪdiən doʊˈmeɪn/

例句 Examples

A common example of a Euclidean domain is the ring of integers.
一个常见的欧几里得整环例子是整数环。

Because this Euclidean domain admits a division algorithm, every ideal is principal and gcds can be computed efficiently.
因为这个欧几里得整环满足除法算法，所以每个理想都是主理想，并且可以高效计算最大公因子。

词源 Etymology

Euclidean 来自古希腊数学家 Euclid（欧几里得）之名，因“欧几里得算法”而广为人知；domain 在代数语境中常指“环/整环这类代数结构”。“Euclidean domain”这一术语用于强调：该整环具有类似欧几里得算法所依赖的“度量/大小函数”，从而能进行带余除法。

相关词 Related Words

• Euclidean Algorithm
• Integral Domain
• Ring
• Principal Ideal Domain
• Unique Factorization Domain
• Division Algorithm
• Greatest Common Divisor
• Norm

文学与经典著作 Literary Works

• Abstract Algebra（Dummit & Foote）——在整环、PID、UFD 的章节中系统讨论欧几里得整环。
• Algebra（Serge Lang）——在环与理想结构的论述中出现并用于推导相关性质。
• A Course in Arithmetic（Jean-Pierre Serre）——在初等数论与代数结构的联系中使用该概念。
• Introduction to Commutative Algebra（Atiyah & Macdonald）——在交换代数背景下提及并与理想理论关联。