First-Order Differential Equation

定义 Definition

一阶微分方程：含有未知函数及其导数的方程，并且其中出现的最高阶导数为一阶导数（如 (y') 或 (\frac{dy}{dx})）。常见形式包括 ( \frac{dy}{dx}=f(x,y))；有些一阶微分方程还能进一步分为可分离变量、线性、恰当方程等类型。（注：该术语主要用于常微分方程语境；偏微分方程也有“一阶”之说，但含义对应“最高阶偏导为一阶”。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌfɝːst ˈɔːrdər ˌdɪfəˈrɛnʃəl ɪˈkweɪʒən/

例句 Examples

A first-order differential equation involves only the first derivative of the unknown function.
一阶微分方程只涉及未知函数的一阶导数。

To model population growth, we often start with a first-order differential equation such as ( \frac{dP}{dt}=kP ), then analyze its solution under different initial conditions.
为了刻画人口增长，我们常从一阶微分方程入手，例如 ( \frac{dP}{dt}=kP )，再在不同初始条件下分析其解。

词源 Etymology

differential equation 由 differential（“微分的”，来自拉丁语 differentia，与“差异/变化”相关）和 equation（“方程”，来自拉丁语 aequatio，与“使相等”相关）组成，字面含义可理解为“用微分（导数）表达的方程”。first-order 是数学中对“最高阶导数为一阶”的分级说法，因此 first-order differential equation 就是“最高阶导数为一阶的微分方程”。

相关词 Related Words

• Ordinary
• Differential
• Equation
• Derivative
• Linear
• Separable
• Initial
• Solution
• Integrating
• Factor

文学与经典著作 Literary Works

• Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems（Boyce & DiPrima）——系统讲解一阶微分方程的分类与解法。
• Differential Equations with Applications and Historical Notes（George F. Simmons）——在应用与历史背景中频繁使用并讨论一阶微分方程。
• Ordinary Differential Equations（V. I. Arnold）——涵盖常微分方程理论，其中一阶方程是基础内容之一。
• A Treatise on Differential Equations（A. R. Forsyth）——经典论著，涉及大量一阶常微分方程相关讨论。