Monodromy Group

定义 / Definition

Monodromy group（单值化群/单调群的常译为“单值化群”，也常直接译作“单值群”或保留英文）：在复分析、微分方程与代数几何中，描述“沿着参数空间的闭路（环路）解析延拓后，函数分支/解如何发生置换或线性变换”的群。直观地说，它刻画了绕奇点走一圈之后，多值函数（或微分方程解的基）回到起点时被怎样重新排列。

发音 / Pronunciation (IPA)

/məˈnɑːdrəmi ɡruːp/

例句 / Examples

The monodromy group tells us how the branches of a multivalued function permute when we go around a singularity.
单值化群告诉我们：当绕奇点一周时，一个多值函数的各个分支会如何相互置换。

In the study of linear differential equations with regular singular points, the monodromy group is represented by matrices describing analytic continuation of a fundamental solution basis along loops in the punctured plane.
在研究具有正则奇点的线性微分方程时，单值化群可用矩阵来表示：它描述了在挖去奇点的平面上沿环路进行解析延拓时，基本解组如何发生变换。

词源 / Etymology

monodromy 源自希腊语词根：**mono-**（单、一）+ dromos（跑道、行程、路线），本意接近“沿同一路径走一圈的行为”。在数学中引申为“沿闭合路径解析延拓所导致的回返效应”，再加上 group（群）就表示这种回返效应所形成的代数结构。

相关词 / Related Words

• Analytic
• Continuation
• Branch
• Singularity
• Fundamental
• Loop
• Covering
• Riemann
• Holonomy
• Representation

文献与作品中的用例 / Notable Works

• Complex Analysis（Lars Ahlfors）——在讨论解析延拓、多值函数与黎曼曲面时会出现相关概念与表述。
• Riemann Surfaces（Otto Forster）——常以覆盖空间/基本群的观点引入并使用 monodromy（群）思想。
• Singular Points of Complex Hypersurfaces（John Milnor）——在奇点理论中，monodromy（及其诱导的作用）是核心工具之一。
• Algebraic Geometry（Robin Hartshorne）——在层、覆盖与基本群等语境下，monodromy/monodromy group 作为几何—代数对应的表达经常出现。