Semidirect Product

Definition / 定义

半直积：群论（以及相关代数结构）中的一种构造方式，用来把两个群“拼”成一个更大的群。它类似于直积，但允许其中一个群通过某种“作用”（action）去扭转/影响另一个群的乘法结构，因此整体不一定像直积那样“完全独立”。

（该术语也可推广到环、李代数等语境，但最常见的是群的半直积。）

Pronunciation / 发音

/ˌsɛmiˈdaɪrɛkt ˈprɑːdʌkt/
/ˌsɛmiˈdaɪrɛkt ˈprɒdʌkt/

Examples / 例句

A dihedral group can be written as a semidirect product.
二面体群可以表示为一个半直积。

Given a normal subgroup (N) and a homomorphism from (H) into (\mathrm{Aut}(N)), we form the semidirect product (N \rtimes H).
给定正规子群 (N) 以及从 (H) 到 (\mathrm{Aut}(N)) 的同态，我们可以构造半直积 (N \rtimes H)。

Etymology / 词源

semi- 表示“半、部分”，direct product 指“直积”。之所以叫“半直积”，是因为它在形式上保留了“像直积一样由两部分组成”的外观，但其中一部分会通过一个作用（通常表现为到自同构群的同态）对另一部分进行“扭转”，因此只有一部分像直积那样“直接”，另一部分则被“调整/耦合”。

Related Words / 相关词

• Direct Product
• Group
• Normal Subgroup
• Automorphism
• Homomorphism
• Action
• Dihedral Group
• Wreath Product

Literary Works / 文学与经典著作例证

• Abstract Algebra — David S. Dummit & Richard M. Foote（在群的构造与例子中系统讨论半直积）
• Algebra — Serge Lang（在群与相关结构章节中使用半直积记号与构造）
• A Course in the Theory of Groups — Derek J. S. Robinson（群扩张与半直积的经典处理）
• Finite Group Theory — I. Martin Isaacs（有限群结构分析中常出现半直积）
• Representations and Characters of Groups — Gordon James & Martin Liebeck（在以二面体群等为例的结构描述中出现半直积）