Taylor Expansion

Definition 定义

泰勒展开（泰勒级数展开）：把一个函数在某一点附近表示为由该点处各阶导数组成的多项式（及其无穷延伸）的形式，用于近似计算、分析函数局部性质等。（更一般的形式称为 Taylor series；在 0 点展开常称 Maclaurin series。）

Pronunciation 发音（IPA）

/ˈteɪlər ɪkˈspænʃən/

Examples 例句

The Taylor expansion helps us approximate (\sin x) when (x) is small.
当 (x) 很小时，泰勒展开可以帮助我们近似计算 (\sin x)。

Using a second-order Taylor expansion around (x=0), we can estimate the function’s value and quantify the local error.
在 (x=0) 附近做二阶泰勒展开，我们可以估计函数的数值，并衡量局部近似误差。

Etymology 词源

“Taylor”来自英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor, 1685–1731）的姓氏；“expansion”意为“展开、扩展”。该概念源于把函数用在某点处的导数信息逐步“展开”为多项式/级数表示的方法，后来成为微积分与数值分析中的核心工具。

Related Words 相关词

• Taylor Series
• Maclaurin Series
• Power Series
• Polynomial Approximation
• Derivative
• Remainder Term
• Convergence
• Linearization

Literary Works 文学与名著中的用例

• Calculus（James Stewart）——在“泰勒多项式/泰勒级数”章节系统介绍定义、余项与应用。
• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin，《数学分析原理》）——用更严谨的分析语言讨论泰勒定理与误差项。
• Mathematical Methods for Physicists（Arfken, Weber, Harris）——在近似方法与渐近展开中频繁使用泰勒展开。
• Advanced Engineering Mathematics（Erwin Kreyszig，《高等工程数学》）——在数值近似、误差分析与工程建模中大量出现。