Variational Formulation

释义 Definition

variational formulation（变分形式/变分表述）：一种把微分方程或物理问题改写成“极值（最小/驻值）问题”或“弱形式（weak form）”的方法，常用于偏微分方程、有限元法与力学中的能量原理。该表述通常通过测试函数与积分形式来降低对解的光滑性要求，便于证明存在唯一性与进行数值计算。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌvɛə.riˈeɪ.ʃən.əl ˌfɔːr.mjəˈleɪ.ʃən/

例句 Examples

We solve the Poisson equation using a variational formulation.
我们用变分形式来求解泊松方程。

Starting from the principle of minimum potential energy, the model is cast into a variational formulation suitable for finite element discretization.
从最小势能原理出发，该模型被改写为适合有限元离散的变分表述。

词源 Etymology

variational 源自 variation（变化、变分），与拉丁语 variatio（改变）相关；在数学中“变分”指研究函数（而非数）的微小变化如何影响某个泛函（functional）的值。formulation 表示“表述/建模方式”。合起来即“用变分思想来表述一个问题”。

相关词 Related Words

• Weak Form
• Euler–Lagrange Equation
• Functional
• Test Function
• Sobolev Space
• Finite Element Method
• Galerkin Method
• Boundary Value Problem

文学与著作 Literary Works

• Partial Differential Equations（Lawrence C. Evans）——在弱解与变分方法章节中系统使用“variational formulation”。
• The Mathematical Theory of Finite Element Methods（Brenner & Scott）——以变分形式作为有限元法的核心起点。
• Methods of Mathematical Physics（Courant & Hilbert）——通过能量原理与变分法连接经典物理与PDE表述。
• The Finite Element Method（O. C. Zienkiewicz & R. L. Taylor）——工程计算中以变分/弱形式推导离散方程。
• An Introduction to the Finite Element Method（J. N. Reddy）——教学性地从变分表述过渡到有限元实现。