Von Mangoldt Function

释义 Definition

冯·芒戈尔特函数（von Mangoldt function，记作 **Λ(n)**）是数论中的一个重要算术函数：

• 当 (n = p^k)（(p) 为素数，(k\ge 1)）时，(\Lambda(n) = \log p)；
• 否则 (\Lambda(n)=0)。
  它在素数分布、切比雪夫函数、以及黎曼ζ函数相关的“显式公式”中非常关键。（注：在不同语境下也可能涉及等价表述与推广。）

发音 Pronunciation (IPA)

/vɑːn ˈmæŋɡoʊlt ˈfʌŋkʃən/

例句 Examples

The von Mangoldt function is zero unless (n) is a prime power.
冯·芒戈尔特函数除非 (n) 是素数幂，否则取值为零。

Using the von Mangoldt function, one can express the Chebyshev function (\psi(x)) as (\psi(x)=\sum_{n\le x}\Lambda(n)), which connects prime powers to analytic methods.
借助冯·芒戈尔特函数，可以把切比雪夫函数 (\psi(x)) 写成 (\psi(x)=\sum_{n\le x}\Lambda(n))，从而将素数幂与解析方法联系起来。

词源 Etymology

“von Mangoldt”来自德国数学家 Hans von Mangoldt 的姓氏，这个函数以他命名；“function”表示“函数”。该术语主要在解析数论传统中广泛使用，用于把“素数（及其幂）”的信息编码到一个便于求和与分析的函数里。

相关词 Related Words

• Arithmetic Function
• Prime
• Prime Power
• Logarithm
• Chebyshev Function
• Möbius Function
• Dirichlet Series
• Zeta Function
• Riemann Hypothesis
• Analytic Number Theory

文学/名著用例 Notable Works

• G. H. Hardy & E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers
• Harold Davenport, Multiplicative Number Theory
• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory
• Henryk Iwaniec & Emmanuel Kowalski, Analytic Number Theory
• Gérald Tenenbaum, Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory