Supremum

定義 / Definition

数学用語で、ある集合の上限（最小上界）を意味する。集合のすべての要素以上であり、かつそのような値の中で最小のものを指す。集合の中に実際に含まれていなくてもよい点が、最大値（maximum）との違いである。

発音 / Pronunciation

/suːˈpriːməm/

例文 / Examples

The supremum of the open interval (0, 1) is 1, even though 1 is not included in the set.
開区間 (0, 1) の上限は 1 であるが、1 自体はその集合に含まれていない。

In real analysis, proving the existence of a supremum for every bounded set is a fundamental property of the real numbers known as the completeness axiom.
実解析において、すべての有界集合に上限が存在することを証明することは、完備性公理として知られる実数の基本的な性質である。

語源 / Etymology

ラテン語の supremum に由来し、これは supremus（最高の、最上の）の中性形である。supremus は superus（上の）の最上級であり、さらに遡ると super（～の上に）に行き着く。19世紀後半から20世紀にかけて、集合論や解析学の発展とともに数学用語として定着した。略記として sup が広く用いられる。

文献での用例 / Literary & Academic Usage

**"Principles of Mathematical Analysis"**（Walter Rudin著）— 実数の完備性を論じる際に supremum の概念が中心的に扱われる、解析学の古典的教科書。
**"Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications"**（Gerald B. Folland著）— 測度論や積分論の文脈で supremum が頻繁に用いられる。
**"Grundzüge der Mengenlehre"**（Felix Hausdorff著）— 集合論の基礎を築いた著作で、上限・下限の概念が体系的に導入されている。