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前一段时间，介绍了零知识证明的入门知识，通过 QSP 问题证明来验证另外一个 NP 问题的解。最近在看 QAP 问题相关的文章和资料，这篇文章分享一下 QAP 问题的理解。
0 背景介绍
QSP/QAP 问题的思想都是出自 2012 年一篇论文：Quadratic Span Programs and Succinct NIZKs without PCPs。论文的下载地址： https://eprint.iacr.org/2012/215.pdf 。
图 1
这篇论文提出了使用 QSP/QAP 问题，而不使用 PCP 方式，实现零知识证明。
1 术语介绍
SP - Span Program ，采用多项式形式实现计算的验证。
QSP - Quadratic Span Program，QSP 问题，实现基于布尔电路的 NP 问题的证明和验证。
QAP - Quadratic Arithmetic Program，QAP 问题，实现基于算术电路的 NP 问题的证明和验证，相对于 QSP，QAP 有更好的普适性。
PCP - Probabilistically Checkable Proof ，在 QSP 和 QAP 理论之前，学术界主要通过 PCP 理论实现计算验证。PCP 是一种基于交互的，随机抽查的计算验证系统。
NIZK - Non-Interactive Zero-Knowledge，统称，无交互零知识验证系统。NIZK 需要满足三个条件：1/ 完备性(Completeness)，对于正确的解，肯定存在相应证明。2/可靠性 (Soundness) ，对于错误的解，能通过验证的概率极低。3/ 零知识。
SNARG - Succinct Non-interactive ARGuments，简洁的无须交互的证明过程。
SNARK - Succinct Non-interactive ARgumentss of Knowledge，相比 SNARG，SNARK 多了 Knowledge，也就是说，SNARK 不光能证明计算过程，还能确认证明者“拥有”计算需要的 Knowledge （只要证明者能给出证明就证明证明者拥有相应的解）。
zkSNARK - zero-knowledge SNARK，在 SNARK 的基础上，证明和验证双方除了能验证计算外，验证者对其他信息一无所知。
Statement - 对于 QSP/QAP 而言，某个计算电路的输入。Statement 对证明者和验证者都是公开的。
Witness - Witness 只有验证者知道。可以理解成，某个计算电路的输出（ output ）。
2 QAP 问题和算术电路
QAP 的定义和 QSP 的定义有些相似（毕竟都是一个思想理论的两种形式）。论文中给出了 QAP 的一般定义和强定义。QAP 的强定义如下：
QAP 问题是这样一个 NP 问题：给定一系列的多项式，以及给定一个目标多项式，找出多项式的组合能整除目标多项式。输入为 n 位的 QAP 问题定义如下：
- 给定多个多项式：$v_0, ... , v_m, w_0, ... , w_m, y_0, ... , y_m$
- 目标多项式：$t$
- 映射函数：$f: \left{(i, j) |1\leq i \leq n, j\in{0,1} \right} \to \left{1, ... m\right}$ （确定输入对应的序号）
给定一个证据 u （由 Statement，Witness 以及中间门电路的输出组成），满足如下条件，即可验证 u 是 QAP 问题的解：
- $(v_0(x) + \sum_{k=1}^m a_k \cdot v_k(x)) \cdot (w_0(x) + \sum_{k=1}^m b_k \cdot w_k(x)) - (y_0(x) + \sum_{k=1}^m c_k \cdot y_k(x)) 能整除 t(x)$
对一个证据 u，多项式之间的系数（$a_1, ..., a_m, 和 b_1, ... , b_m, 以及 c_1, ..., c_m$ 相等）。
算术电路可以简单看成由如下的三种门组成：加门，系数乘法门以及通用乘法门（减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法）。Vitalik 在 2016 年写过的 QAP 介绍，深入浅出的解释 NP 问题的算术电路生成和 QAP 问题的转化。推荐大家都读一读。
https://medium.com/@VitalikButerin/quadratic-arithmetic-programs-from-zero-to-hero-f6d558cea649
以 Vitalik 文章中的例子为例，算术逻辑（$x^3 + x + 5$）对应的电路如下图所示：
图 2
3 算术问题转化为 QAP 问题
把一个算术电路转化为 QAP 问题的过程，其实就是将电路中的每个门描述限定的过程，也就是所谓的 R1CS （ Rank-1 constraint system ）。
3.1 算术电路拍平
算术电路拍平，就是用一组向量定义算术电路中的所有的变量（包括一个常量变量）。比如 2 中所示的电路，拍平之后的向量表示为$[one, x, out, sym_1, y, sym_2 ]$，其中 one 代表常量变量，x 代表输入，out 代表输出，其他是中间门电路的输出。
假设一个合理的电路向量值为$s - [s_0, s_1, s_2, s_3, s_4, s_5]$。
3.2 门描述
对于每个电路中的门进行描述，说清输入以及输出，采用$s \cdot a* s \cdot b - s \cdot c = 0$的形式，其中$a,b,c$都是和电路向量长度一致的向量值。$s \cdot a, s \cdot b, s \cdot c$都是点乘。这种形式表达的是“乘法门”。可以简单的理解，$a, b, c 和 s$的点乘就是“挑选”向量中的变量，查看挑选出的变量是否满足$A * B = C$。
各个门对应的$a, b, c$的向量值如下：
门 1 (查看$x * x 是否等于 sym_1$）：
$a = [0, 1, 0, 0, 0, 0]$
$b = [0, 1, 0, 0, 0, 0]$
$c = [0, 0, 0, 1, 0, 0]$
门 2 (查看$sym_1 * x 是否等于 y$）：
$a = [0, 0, 0, 1, 0, 0]$
$b = [0, 1, 0, 0, 0, 0]$
$c = [0, 0, 0, 0, 1, 0]$
门 3 (查看$(x + y)*1 是否等于 sym_2$）：
$a = [0, 1, 0, 0, 1, 0]$
$b = [1, 0, 0, 0, 0, 0]$
$c = [0, 0, 0, 0, 0, 1]$
门 4 (查看$(5x + sym_2) * 1 是否等于 out$）：
$a = [5, 0, 0, 0, 0, 1]$
$b = [1, 0, 0, 0, 0, 0]$
$c = [0, 0, 1, 0, 0, 0]$
3.3 多项式表达
在门电路描述的基础上，将所有的门电路，转化为多项式表达。将$a, b, c$中的每个系数，看成一个多项式的结果（以 a 为例）：$a = [f_0(x), f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x), f_5(x)]$。
针对门 1/门 2/门 3/门 4，$f_0(x), f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x), f_5(x)$的取值不同。比如说，门 1 的 a 的$f_0(x)$为 0。门 2 的 a 的$f_0(x)$为 0。门 3 的 a 的$f_0(x)$为 0。门 4 的 a 的$f_0(x)$为 5。
设定门 1 对应的 x 为 1，门 2 对应的 x 为 2，门 3 对应的 x 为 3，门 4 对应的 x 为 4 的话（这些值可以任意指定），会得到如下的等式：
$f_0(1) = 0, f_0(2) = 0, f_0(3)=0, f_0(4)=5$
在获知一系列的输入和输出的前提下，可以通过朗格朗日定理，获取多项式表达式。小伙伴可以通过如下的工具计算多项式： http://skisickness.com/2010/04/28/。
图 3
图 4
也就是说，a 的$f_0(x) = -5 + 9.167x + -5x^2 + 0.833x^3$。同样的方式，可以算其他参数的$f_0(x), f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x), f_5(x)$。再把这些多项式代入$s \cdot a* s \cdot b - s \cdot c = 0$，在正确的$s 向量值$的情况下，1/2/3/4 能让等式成立，也就是说，多项式$s \cdot a* s \cdot b - s \cdot c$能整除$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$。这样，一个算术电路就转化为了 QAP 问题。
4 QAP 问题的 zkSNARK 证明
QAP 问题的 zkSNARK 证明过程和 QSP 有点类似。skSNARK 证明过程分为两部分：a) setup 阶段 b ）证明阶段。QAP 问题就是给定一系列的多项式$v_0, ..., v_m, w_0, ..., w_m, y_0, ... , y_m$以及目标多项式$t$，证明存在一个证据$u$。这些多项式中的最高阶为$d$。
4.1 setup 和 CRS
CRS - Common Reference String，也就是预先 setup 的公开信息。在选定$s$和$\alpha$的情况下，发布如下信息：
-
$s$和$\alpha$的计算结果
$$E(s^0), E(s^1), ... , E(s^d)$$
$E(\alpha s^0), E(\alpha s^1), ... , E(\alpha s^d)$
-
多项式的$\alpha$对的计算结果 $$E(t(s)), E(\alpha t(s))$$
$$E(v_0(s)), ... E(v_m(s)), E(\alpha v_0(s)), ..., E(\alpha v_m(s))$$
$$E(w_0(s)), ... E(w_m(s)), E(\alpha w_0(s)), ..., E(\alpha w_m(s))$$
$$E(y_0(s)), ... E(y_m(s)), E(\alpha y_0(s)), ..., E(\alpha y_m(s))$$
-
多项式的$\beta_v, \beta_w, \beta_y, \gamma$ 参数的计算结果
$$E(\gamma), E(\beta_v\gamma), E(\beta_w\gamma), E(\beta_y\gamma)$$
$$E(\beta_vv_1(s)), ... , E(\beta_vv_m(s))$$
$$E(\beta_ww_1(s)), ... , E(\beta_ww_m(s))$$
$$E(\beta_yy_1(s)), ... , E(\beta_yy_m(s))$$
$$E(\beta_vt(s)), E(\beta_wt(s)), E(\beta_yt(s))$$
4.2 证明者提供证据
在 QAP 的映射函数中，$1, ..., m$中有些数字没有映射到，也就是除了输入之外的序号。这些没有映射到的序号（中间门电路和输出）组成$I_{free}$，并定义（$k$为未映射到的序号）：
$$v_{free}(x) = \sum_k a_kv_k(x)$$
证明者需提供的证据如下
- $$V_{free} := E(v_{free}(s)), \ W := E(w(s)), \ Y := E(y(s)), \ H := E(h(s)),$$
- $$V_{free}' := E(\alpha v_{free}(s)), W' := E(\alpha w(s)), Y' := E(\alpha y(s)), H' := E(\alpha h(s)), $$
- $$P := E(\beta_vv_{free}(s) + \beta_ww(s) + \beta_yy(s))$$
$V_{free}/V_{free}', W/W', Y/Y', H/H'$是$\alpha$对，用以验证$v_{free},w,y,h$是否是多项式形式。$t$是已知，公开的，毋需验证。$P$用来确保$v_{free}(s), w(s) 和 y(s)$的计算采用一致的参数。
4.3 验证者验证
在 QAP 的映射函数中，$1, ..., m$中所有映射到的序号（输入序号）作为组成系数组成的二项式定义为（和$v_{free}$互补）：
$$v_{in}(x) = \sum_k a_kv_k(x)$$
验证者需要验证如下的等式是否成立：
- $$e(V_{free}', g) = e(V_{free}, g^\alpha), e(W', E(1)) = e(W, E(\alpha)), e(Y', E(1)) = e(Y, E(\alpha)), e(H', E(1)) = e(H, E(\alpha))$$
- $$e(E(\gamma), P) = e(E(\beta_v\gamma), V_{free})e(E(\beta_w\gamma), W)e(E(\beta_y\gamma), Y)$$
- $$e(E(v_0(s))E(v_{in}(s))V_{free}, E(w_0(s))W) = e(H, E(t(s)))e(y_0(s)Y, E(1))$$
第一个（系列）等式验证$V_{free}/V'_{free}, W/W', Y/Y', H/H'$是否是$\alpha$对。
第二个等式验证$V_{free}, W, Y$的计算采用一致的参数。因为$v_{free}, w, y$都是二项式，它们的和也同样是一个多项式，所以采用$\gamma$ 参数进行确认。证明过程如下：
$$e(E(\gamma), P) = e(E(\gamma), E(\beta_vv_{free}(s) + \beta_ww(s) + \beta_yy(s))) = e(g, g)^{\gamma(\beta_vv_{free}(s) + \beta_ww(s) + \beta_yy(s))}$$
$e(E(\beta_v\gamma), V_{free})e(E(\beta_w\gamma), W)e(E(\beta_y\gamma), Y) = e(E(\beta_v\gamma), E(v_{free}(s)))e(E(\beta_w\gamma), E(w(s)))e(E(\beta_y\gamma), E(y(s)))$
$= e(g,g)^{(\beta_v\gamma)v_{free}(s)}e(g,g)^{(\beta_w\gamma)w(s)}e(g,g)^{(\beta_y\gamma)y(s)}= e(g, g)^{\gamma(\beta_vv_{free}(s) + \beta_ww(s) + \beta_yy(s))}$
第三个等式验证$v(s)w(s) - y(s) = h(s)t(s)$，其中$v_0(s)+v_{in}(s)+v_{free}(s) = v(s)$。
简单的说，逻辑是确认$v, w, y, h$是多项式，并且$v,w,y$采用同样的参数，满足$v(s)w(s)- y(s)= h(s)t(s)$。
到目前为止，整个 QAP 的 zkSNARK 的证明过程逻辑已见雏形。
4.4 $\delta $ 偏移
为了进一步“隐藏” $V_{free}, W, Y$，额外需要采用两个偏移: $\delta_{free}, \delta_w 和 \delta_y$。 $v_{free}(s)/w(s)/y(s)/h(s)$进行如下的变形，验证者用同样的逻辑验证。
$$v_{free}(s) \rightarrow v_{free}(s) + \delta_{free}t(s)$$ $$w(s) \rightarrow w(s) + \delta_wt(s)$$ $$y(s) \rightarrow y(s) + \delta_yt(s)$$ $$h(s) \rightarrow h(s)+\delta_{free}(w_0(s) + w(s)) + \delta_w(v_0(s) + v_{in}(s) + v_{free}(s)) + (\delta_{free}\delta_w)t(s) - \delta_y$$
总结：QAP 和 QSP 问题类似。QSP 问题主要用于布尔电路计算表达，QAP 问题主要用于算术电路计算表达。将一个算术电路计算转化为 QAP 问题的过程，其实就是对电路中每个门电路进行描述限制的过程。通过朗格朗日定理，实现算术电路的多项式表达。QAP 问题的 zkSNARK 的证明验证过程和 QSP 非常相似。
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