关于向量积的方向，不是特别明白

[James369]

2 个向量叉乘 axb ，其结果有一个方向，不知道这个方向是天生的特性，还是人为的规定，有点不明白。

如果是人为规定的，那么怎么正好可以做各种代数运算（比如交换律，分配律等），还可以在解析几何中应用得顺风顺水，仿佛与身俱来的能力。

就好比如说：我自称自己是孙悟空，突然我就有了 72 变一样，让人觉得有点匪夷所思。所以我反而觉得这个方向是推导出来的。

同样的道理，对于向量的“加号”，a=xi+yj ，这个加号也有类似的疑问，它是传统加法吗，怎么可以像传统加法一样到处用？仿佛与身俱来的能力。

[ipwx]

数学都是人为规定的。先规定一些基本规则（公理），然后在这个公理体系上开始进行演绎，最后如果整个体系不矛盾，就是“一套数学理论”。

有很多不同的数学理论，初中的实数代数只不过是最经典的一种。复数也是类似的数学体系，只不过复数是兼容实数体系的扩充体系。然后人们发现复数对于电路和物理（比如量子物理）很有用。

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广义相对论里面用到了非欧几何也是类似。

有数学家质疑欧式几何五大公理的第五条“过直线外一点有且只有一条平行线”（初中数学经典基础楼主还记得么）是不是冗余了。接着，人们发现如果规定“过直线外一点没有平行线”以及“过直线外一点有至少两条平行线”，也能演绎出和欧式几何不同的、自成体系的几何系统。刚发现这一点的时候，同时代的数学家都不可接受，后来虽然接受了但也是没用的数学玩具。

直到几百年后，爱因斯坦发现在广义相对论里面用非欧几何恰到好处。。。

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所以楼主的疑问很好解释：数学本就是先人为规定，演绎出很多不同的体系。随后可能在几百年后发现，它居然是有用的。

[ColorfulBoar]

这楼看着有点麻……

先说加法和乘法。这俩玩意跟运算规律一点关系都没有，或者说起码也是个本末倒置。加法（或者说 coproduct ）和乘法本质上是特殊的(co)limit ，而(co)limit 总是与其他的(co)limit/adjunction/...在特定条件下交换，这才成了最终被观察到的「运算规律」。特别地，标量和向量间的「乘法」最终归结于 monoidal category 里的那个"tensor product"，它不是传统意义上的 product ，满足的公理也是五角大楼……不对串味了……是五边形图表交换，而不是传统的(co)product 。「正确」的直觉乃是激发态与 domain wall 的融合：想象有堵墙，它就是向量，然后你往上面砸一种很均匀的屎，这就是标量和向量之间的「乘法」（以下省略乘法边上的「」），如果墙是虚空墙，那你把一坨屎挪到这个空气位置上假装这是个屎墙，然后往上继续砸，手感和你砸墙也没啥区别，这就是为啥有时候看起来标量乘法和它与向量的乘法有点像的原因（以上都可以严格证明，但在此省略一千页辅助材料）
绝大多数人看到的「抽象」代数，无非是魔法的余烬（ co-ash ）罢了

======分割线：所以 if err != nil 爱好们明白为什么和类型叫和类型，积类型叫积类型了嘛？明白之后就可以开始学习什么是 monad 啦======

所谓 v 和 w 的 cross product ，是这么个过程：
在可定向的伪黎曼几何上有切丛与余切丛间的 musical isomorphism （所谓的升降指标）最终使得
v,w 经过 musical isomorphism 从 1-vector 变成 1-form
n-form 和 m-form 间总有 wedge product ，结果是一个(n+m)-form （所以现在我们有了一个 2-form
这个 wedge product 经过 Hodge star 变回(d-2)-form ，刚好 d=3 ，所以它是 1-form
这个 1-form 经过 musical isomorphism 变回了 1-vector
这就是所谓的 corss product ，而最开始的定向（所谓的左右手）就是最后结果「人为」的地方，而不难发现，这里面最「刻意」的地方，在于一切只刚好对三维空间成立

[LiubaiQ]

额，我猜，大家是想说为了解决线性代数问题，所以引入了向量？不过，我找不到明显证据表明向量是研究线性代数的过程中诞生的。。。

[HeyWeGo]

关于虚数，我是看 B 站视频大概了解了它的发生过程，讲了虚数引入的历史。从中也更加深刻的认识了一句话”人们只能想想出他认知范围内的东西“。https://www.bilibili.com/video/BV1C4411W7vq

数学作为爱好，真的挺神奇的和代码很像

前人的结论就像代码里的历史包袱，后面的结论需要与之兼容又寻求突破。

[ipwx]

@LiubaiQ 你这说法我怎么觉得就像问“先有鸡还是先有蛋”呢？为啥就不能是鸡和蛋是一段漫长的共同演化历史呢？

[andyJado]

@James369 妈耶

如果向量是标量

该怎么区分

a 指向 b 和 b 指向 a

在此假设下就需要另外一个量去描述这个事情:

“是谁指向了谁”

正负号恰好能够代码复用

[zzzsy]

可以看一下 Linear Algebra Done Right

[LiubaiQ]

@ipwx 额，你指的是哪条回复，我同意数学概念和实际应用辗转向前发展，不过我应该没说什么与这个矛盾的发言吧。。。

[ipwx]

@LiubaiQ "为了解决线性代数问题，所以引入了向量？不过，我找不到明显证据表明向量是研究线性代数的过程中诞生的。。。"

没啥，只是稍微表达了一点我的看法。

[LiubaiQ]

@ipwx 额，是这样的，这个其实是我对楼上多人推荐 OP 去线代里学习向量的原因的推测，而我不同意这个看法，原因就是线代教材几乎不讲向量，只把向量作为学习者默认掌握的内容，从而作为工具直接引入并使用，而 OP 很明显是不了解向量概念定义，所以我推荐他去看同济版高数下专门介绍向量的章节。

[xuqiccr]

@dddd1919 #9 哈哈哈哈草 本塞尔达玩家突然学到了个知识点

[ipwx]

@LiubaiQ 线性代数的教学有个很大的矛盾点，特别是国内工科只有一个学期学的前提（又用不上

那就是，如果不先把这种形式和计算方法给你写出来，你根本无法阅读线性代数的应用内容；可是没有应用内容的支撑，你又根本无法理解形式化的线性代数。所以其实线性代数是很难教的。

我当年本科就被线性代数教材带得一点都不会。直到后来接触了泛函分析被虐了一遍，被机器学习虐了一遍。但是后面两门学科，泛函分析是线性代数去掉乱七八糟的计算和细节概念直接抽象化（反而能领会精髓），机器学习教材让你实际运用抽象的线性代数形成具体的感觉。这样反过来我才学懂了线性代数。

[ipwx]

其实某种意义上线性代数的精髓可以概括为：

R^n 实数上的线性空间分析。。。

[ipwx]

“R^n 实数上的线性空间分析” 这句话可以立刻让它和很多数学分支形成联系。举个例子：

把 R^n 实数空间换成别的空间，函数空间（泛函分析）。所谓的特征向量其实是实数空间上的正交基，换成函数空间，那么傅里叶级数每一项其实都是正交函数基。傅里叶系数又和线性代数的特征值有很强的关联。。。反正一下就串起来了。

[yyfearth]

@Jooooooooo 我就是想说 群论 来着 但是怕楼主听的更懵了

@ipwx 数学就是一个逻辑自洽的工具 也没有用不知道
然后物理就去数学里面找工具 然后套用一下 看看能不能解释一些现象
如果能解释 就可以成为一个理论 也就不用太担心逻辑上的问题

[yyfearth]

@James369 你懂编程的话 就更好理解了
群论 就是一个 集合 加上 这个集合的运算和公理
传统的代数 集合一般来说就是实数 然后有 加减乘除乘方开方这些运算 和一大堆的定律公理
向量 的集合就是所有带方向的数 然后向量加乘这些运算和公理

你可以从编程理解 就是一个数据结构或者类 然后对应的一些方法来运算或者判断
不同数据结构那么运算或者判断的方法自然就很可能不一样
只不过你可以取同样的名字 然后加上 运算符重载
比如 v1 = new Vector(2,1, 0)； v2 = new Vector(3, 0, 1); v3 = v1.add(v2); 或者符号重载 v3 = v1 + v2
v3 = v1 + v2 虽然看上去和数字的加法一样 但是完全不同
n1 = 1; n2 = 2.2; n3 = n1 + n3