Closure Operator

定义 Definition

closure operator（闭包算子/闭包算符）：在数学（尤其是拓扑学、序理论、抽象代数与范畴论）中，一种把“对象”映射到其“闭包”的运算。典型地，它是一个函数 (c)（常写作 (\mathrm{cl})），满足三条常见性质：

1. 扩张性：(A \subseteq c(A))；
2. 单调性：若 (A \subseteq B)，则 (c(A) \subseteq c(B))；
3. 幂等性：(c(c(A)) = c(A))。
   在拓扑空间里，(c(A)) 常指集合 (A) 的拓扑闭包。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈkloʊʒər ˈɑːpəˌreɪtər/

例句 Examples

The closure operator sends a set to its closure.
闭包算子把一个集合映射到它的闭包。

In a topological space, the closure operator is monotone, extensive, and idempotent, so it captures how limit points are added to a set.
在拓扑空间中，闭包算子具有单调性、扩张性和幂等性，因此它刻画了如何把极限点加入到一个集合中。

词源 Etymology

closure 来自拉丁语 clausura（意为“关闭、封闭”），在数学里引申为“把对象补全到封闭状态”的结果；operator 源自拉丁语 operari（“操作、工作”），在数学语境中指“对对象施加的运算”。合起来，closure operator 就是“产生闭包的运算”。

相关词 Related Words

• Closure
• Closed Set
• Interior Operator
• Topology
• Limit Point
• Idempotent
• Monotone
• Galois Connection

文学与经典著作 Literary Works

• General Topology — John L. Kelley（讨论拓扑中的闭包及其公理化表述）
• Topology — James R. Munkres（以闭包算子/闭包性质讲解基础拓扑）
• Stone Spaces — Peter T. Johnstone（在序与拓扑相关结构中使用闭包算子思想）
• Handbook of Mathematical Logic（部分章节在抽象结构中出现与闭包算子相关的框架）