Fundamental Group

Definition / 定义

fundamental group（基本群）是代数拓扑中的核心概念：对一个带基点的拓扑空间 (X)，把“以基点出发又回到基点的闭合路径（环路）”按“可连续变形（同伦）”分类，并以路径连接作为运算得到的一个群，记作 (\pi_1(X))。它用来刻画空间的一维“洞”结构（例如圆 (S^1) 的基本群与整数 (\mathbb{Z}) 密切相关）。
（注：不同基点在路径连通空间中给出的基本群通常同构，但不一定自然相同。）

Pronunciation / 发音

/ˌfʌndəˈmɛntəl ɡruːp/

Examples / 例句

The fundamental group of a circle is infinite.
圆的基本群是无限的。

Using covering spaces, we can compute the fundamental group of a complicated space by relating it to a simpler one.
利用覆盖空间，我们可以把复杂空间的基本群计算问题转化为与更简单空间的关系来处理。

Etymology / 词源

• fundamental 来自拉丁语 fundamentum（基础、根基），经由法语进入英语，强调“根本的、作为基础的”。
• group 在数学语境中指“带有运算并满足公理的一类结构”，英语词源可追溯到法语 groupe（群、组）。
• fundamental group（基本群）作为术语用于拓扑学中，意在表达：它是刻画空间基本形状特征（尤其是“环路与洞”）的基础性代数不变量，在代数拓扑的形成与发展（如庞加莱的工作）中占据关键地位。

Related Words / 相关词

• Algebraic Topology
• Homotopy
• Loop
• Path
• Basepoint
• Covering Space
• Homotopy Equivalence
• Simply Connected
• Fundamental Groupoid
• First Homology Group

Literary Works / 文学与经典著作

（该术语主要出现在数学经典教材与专著中，而非一般文学作品。以下为常见、具有代表性的学术著作：）

• Algebraic Topology — Allen Hatcher
• Topology — James R. Munkres
• Algebraic Topology — Edwin H. Spanier
• A Basic Course in Algebraic Topology — William S. Massey
• A Textbook of Topology — Seifert & Threlfall