Kronecker Delta

Definition / 定义

Kronecker delta（克罗内克δ）是一个在数学与物理中常用的记号，表示“相等则为 1，不相等则为 0”的函数（或符号）。通常写作 δᵢⱼ：当 i = j 时 δᵢⱼ = 1；当 i ≠ j 时 δᵢⱼ = 0。它常用于表示单位矩阵的元素、正交性条件、以及在求和（尤其是爱因斯坦求和约定）中“筛选”特定项。
（在不同语境下也可能扩展到多指标形式，但最常见的是两指标 δᵢⱼ。）

Pronunciation / 发音

/krəˈnɛkər ˈdɛltə/

Examples / 例句

The Kronecker delta is 1 when the two indices are equal.
当两个指标相等时，克罗内克δ等于 1。

Using δᵢⱼ in the summation simplifies the expression by selecting only the matching terms.
在求和中使用 δᵢⱼ 可以通过只保留匹配项来简化表达式。

Etymology / 词源

Kronecker来自19世纪德国数学家 Leopold Kronecker（利奥波德·克罗内克）的姓氏；delta源自希腊字母 Δ/δ（德尔塔）。用 δ 表示这种“相等/不等”的判别符号，是数学与理论物理中逐渐形成的记号传统，用于与 Dirac delta（狄拉克δ）等对象在符号上保持家族相似性，但两者含义不同：Kronecker delta 主要用于离散指标，Dirac delta 常用于连续变量。

Related Words / 相关词

• Delta Function
• Dirac Delta
• Indicator Function
• Identity Matrix
• Kronecker Product
• Levi-Civita Symbol
• Orthogonality
• Tensor

Literary Works / 文学作品

• Gravitation（Misner, Thorne & Wheeler）——广泛使用 δᵢⱼ 表达度规、正交基与张量指标运算。
• Mathematical Methods for Physicists（Arfken, Weber & Harris）——在向量/张量、坐标变换与正交关系中频繁出现 Kronecker delta。
• The Classical Theory of Fields（Landau & Lifshitz）——在相对论与场论的指标记号推导中常见 δᵢⱼ（或其变体）。
• Principles of Quantum Mechanics（P. A. M. Dirac）——在态的正交归一与离散指标表示中常用 δᵢⱼ。