Line Integral

Definition / 释义

线积分：沿着一条曲线（路径）对某个函数进行积分的运算。常见有两类：

1. 对标量场的线积分（如沿路径对密度、温度等累计）；
2. 对向量场的线积分（也称“做功积分”，如力沿路径做的功）。
   （该术语在高等数学、向量分析与物理中非常常用。）

Pronunciation / 发音

/ˈlaɪn ˈɪn.tɪ.ɡrəl/

Examples / 例句

We computed the line integral along the circle.
我们计算了沿着圆周路径的线积分。

In physics, the work done by a force field along a path can be expressed as a line integral of the vector field.
在物理中，力场沿某条路径所做的功可以表示为该向量场的线积分。

Etymology / 词源

line 源自拉丁语 linea，意为“线、细绳”，引申为“线条、路线”。integral 来自拉丁语 integer（完整的），在数学中“积分”含有“把无穷小累加成整体”的意义。合在一起，line integral 就是“沿一条线（曲线）进行累加（积分）”，强调积分是在路径上进行，而不是在区域或体积上进行。

Related Words / 相关词

• Curve
• Path
• Scalar Field
• Vector Field
• Work
• Gradient
• Flux
• Green's Theorem
• Stokes' Theorem
• Parametrization

Literary Works / 文学作品

• Calculus（James Stewart）：在“向量微积分/线积分”章节系统使用并讲解 line integral。
• Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus（H. M. Schey）：以直观方式讨论线积分与做功、环量等概念。
• Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms: A Unified Approach（John H. Hubbard & Barbara Burke Hubbard）：在向量分析框架下频繁出现并严格定义 line integral。