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huzhikuizainali
V2EX  ›  数学

闭集 E 与一点 p(p 不属于 E)的距离是否有可能不大于 0?

  •  
  •   huzhikuizainali · 46 天前 · 500 次点击
    这是一个创建于 46 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。
    3 条回复
    necomancer
        1
    necomancer  
       45 天前   ❤️ 1
    取 X=(0, 1],E=(0,1),则 E 在 X 上是闭集。E 在 X 中不紧致,取 p=1 in X, not in E ,则 inf{d(p, q)|q in E}=0,取 q->1-。
    huzhikuizainali
        2
    huzhikuizainali  
    OP
       38 天前
    @necomancer 谢谢你的回复。按照你的例子,E 在 X 上不是闭集啊! X 中的 1 作为 E 的极限点并不属于 E ,所以 E 不是 X 的相对闭集。

    其次想在 k 维实数空间有界闭集,但不是紧集的例子也不可能实现吧?海涅–博雷尔定理使得 k 维实空间下的闭有界集合都是紧集。
    huzhikuizainali
        3
    huzhikuizainali  
    OP
       34 天前
    @necomancer 请问你是不是想说 取 X=(0,1),E=[0.5,1)。则 E 在 X 上闭集,但是 E 在 R 上不是紧致。因此令 p=1 ,此时 p 不属于 E ,而 d(p,E)不大于 0 。

    如果是这样,这里面有个问题。此时 E 只是相对 X 是闭集。E 相对 R 不是闭集。而距离函数是定义在 R 上的。对应 4.16 定理。显然函数 f 是定义在度量空间 X 上。因此用 X 上的相对闭集来挑战定义在 R 上的距离函数似乎并不合理。我结合公开课中前后文的意思,似乎老师也不是这么比较的。

    我猜测老师的意思还是指 E 相对于某度量空间空间(比如度量空间 X)是闭集,而距离函数 d(p,E)=inf{d(p,q),q∈E},且该函数也是定义在度量空间 X 上。二者在同一空间的前提下,再回答 E 是闭集,d(p,E)还一定大于 0 的问题。

    以上是我的猜测,如果你觉得哪里不对,还请指正!谢谢!
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