Bernoulli Number

释义 Definition

伯努利数：一列在数论与分析中非常重要的有理数序列，常记为 (B_0, B_1, B_2,\dots)。它们出现在生成函数 [ \frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty} B_n\frac{x^n}{n!}, ] 并用于表达幂和公式（如 (1^k+2^k+\cdots+n^k) 的闭式）、以及与黎曼ζ函数在偶整数处的取值密切相关。

发音 Pronunciation (IPA)

/bɚˈnuːli ˈnʌmbɚ/

例句 Examples

Bernoulli numbers appear in formulas for sums of powers.
伯努利数出现在幂次和的公式中。

Using the generating function (x/(e^x-1)), we can compute Bernoulli numbers and derive the Euler–Maclaurin formula.
利用生成函数 (x/(e^x-1))，我们可以计算伯努利数，并推导欧拉—麦克劳林公式。

词源 Etymology

“Bernoulli”来自伯努利家族（Bernoulli family）——17–18世纪活跃于欧洲的著名数学家家族（如 Jakob Bernoulli、Johann Bernoulli）。伯努利数与他们及同时代数学家（尤其是欧拉）对级数、幂和与分析工具的研究密切相关；“number”表示这是一组以编号方式出现的特定常数序列。

相关词 Related Words

• Bernoulli Distribution
• Bernoulli Trial
• Generating Function
• Riemann Zeta Function
• Euler–Maclaurin Formula
• Faulhaber’s Formula
• Stirling Numbers
• Euler Numbers

文学与名著用例 Literary Works

• Jakob Bernoulli，《Ars Conjectandi》（《猜度术》）：与伯努利学派相关的早期经典著作（伯努利数以其家族名义流传）。
• Leonhard Euler，《Introductio in analysin infinitorum》（《无穷分析导论》）：系统使用与发展相关级数与常数，伯努利数在相关推导中频繁出现。
• Graham, Knuth, Patashnik，《Concrete Mathematics》（《具体数学》）：在求和、生成函数与渐近分析章节中讨论伯努利数。
• Whittaker & Watson，《A Course of Modern Analysis》（《现代分析教程》）：在特殊函数、渐近展开与欧拉—麦克劳林公式相关内容中涉及伯努利数。