Jacobian Elliptic Function

定义 Definition

Jacobian elliptic function（雅可比椭圆函数）是一类与椭圆积分密切相关的特殊函数，通常指三种基本函数 **sn(u, k)、cn(u, k)、dn(u, k)**（其中 u 为自变量，k 为模数）。它们可看作三角函数在更一般情形下的推广，广泛用于非线性振动、波动方程、刚体运动与复分析等领域。（另有更广义的“椭圆函数”概念。）

发音 Pronunciation (IPA)

/dʒəˈkoʊbiən ɪˈlɪptɪk ˈfʌŋkʃən/

例句 Examples

Jacobian elliptic functions generalize sine and cosine when the motion is not purely harmonic.
当运动不再是纯简谐时，雅可比椭圆函数可以把正弦与余弦推广到更一般的情形。

The solution of the nonlinear pendulum equation can be written in terms of the Jacobian elliptic function sn(u, k).
非线性摆方程的解可以用雅可比椭圆函数 sn(u, k) 来表示。

词源 Etymology

“Jacobian”来自法国数学家卡尔·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi），他系统研究并推广了椭圆函数理论；“elliptic”源于“ellipse（椭圆）”，因为这类函数与椭圆积分的反函数关系紧密；“function”意为“函数”。合起来即“雅可比提出/研究的椭圆函数”。

相关词 Related Words

• Elliptic Integral
• Elliptic Function
• Weierstrass Function
• Modulus
• Amplitude
• Theta Function
• Special Function
• Nonlinear Oscillation

文学与名著中的出现 Literary Works

• Handbook of Mathematical Functions（Abramowitz & Stegun）：在椭圆积分与雅可比椭圆函数章节中系统列出定义、性质与表格。
• A Course of Modern Analysis（Whittaker & Watson）：经典复分析与特殊函数教材，讨论椭圆函数（含雅可比体系）的理论结构。
• *NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF)*：权威在线参考，专章给出 sn、cn、dn 等函数的性质与公式。
• Elliptic Functions and Applications（D. F. Lawden）：以应用为导向，频繁使用雅可比椭圆函数表示物理与工程模型的解。