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huzhikuizainali
V2EX  ›  数学

矩阵 A 列满秩必然导致 A 的奇异值均为非零?

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  •   huzhikuizainali · 2022-01-30 15:14:14 +08:00 · 1171 次点击
    这是一个创建于 788 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

    lance6716
        1
    lance6716  
       2022-01-30 22:44:29 +08:00 via Android
    没有零特征值开平方还是奇异值这种性质。虚空打靶
    upojzsb
        2
    upojzsb  
       2022-02-09 12:05:57 +08:00
    要说奇异值首先要谈奇异值分解
    对于矩阵 A ,其奇异值分解可以写为:
    A=U \Sigma V^T
    其中 U 和 V 是 Unitary 的,即 U U^T=U^T U=I, V V^T=V^T V=I ,\Sigma 为对角矩阵,对角线上的元素为 A 的奇异值
    所以
    A A^T = (U \Sigma V^T) (U \Sigma V^T)^T
    = U\Sigma V^T V \Sigma U^T
    = U \Sigma^2 U^T

    对 A A^T 做特征值分解
    A A^T = Q \Lambda Q^T
    其中 Q 为 Unitary 的, \Lambda 是对角矩阵,其对角线上的元素为 A A^T 的特征值

    考虑到矩阵的特征值是唯一的,所以
    \Sigma^2 = \Lambda
    也就得出了 A 的奇异值是 A A^T 开平方根的结论。
    upojzsb
        3
    upojzsb  
       2022-02-09 12:09:59 +08:00
    Typo:
    \Sigma^2 -> \Sigma \Sigma^T
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