无限离散变量的数学期望递归如何理解？

最近在回头看数学，发现有个很基础的概念，数学期望总是无法理解。假如是有限的可能性，比如 6 面均匀骰子，问摇到的点数的期望是多少，那就是 sum(range(1,7))/6=3.5 这没问题。但假如问，第一次摇到 6 时，已经是第几次摇骰子的期望就无法理解了。

因为它有可能永远都摇不到 6，哪怕概率很小，但也是无数个可能，但用积分很符合直觉，能理解，收敛到某一处。但问题是，期望也可以递归，所以就有，假设 E 是第一次摇到 6 时已经摇过的次数的数学期望，有：

E = 1 * (1/6) + (E+1) *5/6

这里的逻辑是：第一次就摇到 6，有 1/6 概率，并且 1 表示投过一次，能理解。所以除了第一次摇到的概率等于 1-1/6=5/6 也能理解，但 E+1 是怎么出来的？为什么不是 E-1 ！？为什么还没计算，就知道摇到 2~无限次的数学期望是 E+1 呢？怎么的出来的呢？有些人说用均值理解，我觉得那样更难理解，完全不同的东西。

数学期望抽象层面上，我理解成大量重复试验，可达成的普遍性结果。均值不一定是大量重复试验，我可以投 2 次硬币，然后说在我投硬币时，平均每次都得到一个 head 或 tail。

Philippa

2018-01-30 21:58:48 +08:00

积分求极限时很容易理解，虽然我也解释不清楚"为什么积分能够用无限来让无限的东西收敛"，但数学应该是各种体系相互连通的，想不明白，从积分出发（考虑到无限个可能性组合），是如何得出 E = 1 * (1/6) + (E+1) *5/6 这种有限个可能性的。

Biggoldfish

2018-01-30 22:23:41 +08:00

这挺显然的啊
E+1 代表第一次摇骰子没有摇到 6 的情况下，第一次摇到 6 时已经摇过的次数的数学期望
换句话说，相当于一个递归的子问题，因为第一次已经确定不是 6，直接忽略第一次，那么从第二次开始计数，则又是一个求"第一次摇到 6 时已经摇过的次数的数学期望"问题，其期望就是 E，再把第一次确定不是 6 的加入进去就是 E+1
（写出来有点绕

Philippa

2018-01-30 22:30:47 +08:00

@Biggoldfish 谢谢！我理解了。原来 E+1 的意思是“第一次没有摇到 6，然后要摇到 6 的期望次数”。因为期望是 E 次，又因为第一次已经确定不是（有条件的期望），但每次摇都是独立事件所以 E 不变，所以就有 E+1 就是摇不到 6 的情况。这已经是骰子每一种可能性都相同的情况下了，接下来看看不等可能性的应该能看懂了。

感谢。

geelaw

2018-01-30 22:35:13 +08:00

从级数的角度也可以理解呀，因为

E = EXP[次数] = sum of k*(5/6)^(k-1)*1/6 for k = 1 to infinity
= 1*(5/6)^0*1/6 + sum of k*(5/6)^(k-1)*1/6 for k = 2 to infinity
= 1/6 + 5/6 * sum of (k+1)*(5/6)^(k-1)*1/6 for k = 1 to infinity
= 1/6 + 5/6 * EXP[次数+1]
= 1/6 + 5/6 (E+1)

leeg810312

2018-01-30 23:36:52 +08:00

对于积分，我觉得实际应用可以帮助理解。例如平面圆的面积，在没有计算π之前，可以均分等腰三角形来计算面积并求和，均分越多，三角形面积和越逼近圆，每个三角形面积无限逼近 0，这就是无限和收敛。以实际工程应用来说，测 1 分钟水流量，仪表可以每 5 秒记录，也可以每 2 秒记录，计量的频率越高，累加值越逼近实际值，水是持续流动，如果仪器能够做到更高精度，每毫秒记录的累计值会更准确，计量频率无限大，每次记录的值也是逼近 0。

这是一个专为移动设备优化的页面（即为了让你能够在 Google 搜索结果里秒开这个页面），如果你希望参与 V2EX 社区的讨论，你可以继续到 V2EX 上打开本讨论主题的完整版本。

https://www.v2ex.com/t/427233

V2EX 是创意工作者们的社区，是一个分享自己正在做的有趣事物、交流想法，可以遇见新朋友甚至新机会的地方。

V2EX is a community of developers, designers and creative people.