brim は、容器の縁(ふち)や帽子のつばを意味する名詞です。また、動詞として「あふれんばかりになる」という意味でも使われます。
/brɪm/
She filled the cup to the brim.
彼女はカップの縁いっぱいまで注いだ。
His eyes were brimming with tears as he read the letter from his late grandmother.
亡き祖母からの手紙を読みながら、彼の目には涙があふれていた。
古英語の brimme に由来し、もともとは「水辺、岸」を意味していました。中英語の時代に「容器の縁」という意味に変化し、さらに「帽子のつば」という意味も加わりました。動詞としての「あふれる」という用法は、容器の縁まで満たされる様子から派生したものです。